Regressão Linear — Equação, Fórmula e Exemplos

A regressão linear é uma forma de descrever como uma variável muda em relação a outra usando uma reta de melhor ajuste. Na regressão linear simples, com uma variável de entrada $x$ e uma variável de saída $y$, o modelo é

$$\hat{y} = b_0 + b_1x$$

Aqui, $\hat{y}$ é o valor previsto, $b_1$ é a inclinação e $b_0$ é o intercepto. O método de ajuste mais comum é o dos mínimos quadrados ordinários, que escolhe a reta que torna os resíduos ao quadrado o menores possível:

$$\sum_{i=1}^n \left(y_i - \hat{y}_i\right)^2 = \sum_{i=1}^n \left(y_i - (b_0 + b_1x_i)\right)^2$$

Se você só precisa da ideia principal, lembre-se disto: a inclinação informa a variação prevista pelo modelo em $y$ para um aumento de uma unidade em $x$, desde que um modelo linear seja um ajuste razoável.

Equação da Regressão Linear: O Que Ela Mostra

A inclinação $b_1$ informa a variação prevista em $y$ quando $x$ aumenta em $1$, se um modelo linear for uma descrição razoável dos dados. O intercepto $b_0$ é o valor previsto de $y$ quando $x = 0$.

A palavra "previsto" é importante. Em geral, uma reta de regressão não passa por todos os pontos. Em vez disso, ela equilibra os erros em todos os pontos, resumindo a tendência em vez de coincidir com cada observação.

Fórmula da Regressão Linear Para $b_0$ e $b_1$

Na regressão linear simples, se os valores de $x$ não forem todos iguais, os coeficientes de mínimos quadrados podem ser escritos como

$$b_1 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$$

e

$$b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x}$$

Aqui, $\bar{x}$ é a média dos valores de $x$ e $\bar{y}$ é a média dos valores de $y$. Essas fórmulas valem para regressão linear simples. Se você tiver mais de uma variável de entrada, a configuração muda.

Por Que Mínimos Quadrados Usa Resíduos ao Quadrado

Pense nos pontos dos dados como uma nuvem em um gráfico de dispersão. Muitas retas poderiam passar perto dessa nuvem. A regressão linear escolhe a reta que mantém pequenos, no geral, os desvios verticais, chamados de resíduos.

Elevar os resíduos ao quadrado faz duas coisas úteis. Isso impede que erros positivos e negativos se anulem e dá peso extra aos desvios maiores.

Exemplo de Regressão Linear Simples

Suponha que os pontos sejam $(1,2)$, $(2,2)$, $(3,4)$ e $(4,4)$. Vamos ajustar uma reta de regressão linear simples.

Primeiro, encontre as médias:

$$\bar{x} = \frac{1+2+3+4}{4} = 2.5$$ $$\bar{y} = \frac{2+2+4+4}{4} = 3$$

Agora calcule a inclinação:

$$b_1 = \frac{(-1.5)(-1)+(-0.5)(-1)+(0.5)(1)+(1.5)(1)}{(-1.5)^2+(-0.5)^2+(0.5)^2+(1.5)^2}$$ $$b_1 = \frac{4}{5} = 0.8$$

Depois, calcule o intercepto:

$$b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x} = 3 - 0.8(2.5) = 1$$

Então, a equação de regressão é

$$\hat{y} = 1 + 0.8x$$

Se $x=5$, o modelo prevê

$$\hat{y} = 1 + 0.8(5) = 5$$

Você também pode verificar um resíduo. Em $x=2$, o valor previsto é

$$\hat{y} = 1 + 0.8(2) = 2.6$$

O valor real é $2$, então o resíduo é

$$y-\hat{y} = 2 - 2.6 = -0.6$$

Esse ponto fica $0.6$ unidade abaixo da reta de regressão. Um único resíduo não diz se o modelo inteiro é bom, mas mostra como a regressão mede o erro.

Erros Comuns em Regressão Linear

Um erro é supor que a reta precisa passar por todos os pontos. Regressão trata de melhor ajuste, não de ajuste perfeito.

Outro erro é interpretar a inclinação como uma regra exata para cada ponto dos dados. A inclinação representa uma variação média prevista pelo modelo.

Um terceiro erro é tratar a regressão como prova de causalidade. Um padrão linear forte pode ajudar na previsão ou descrever associação, mas, sozinho, não explica por que as variáveis se movem juntas.

Também é fácil confiar demais em previsões fora do intervalo observado dos dados. A extrapolação pode falhar mesmo quando a reta ajustada parece boa dentro do intervalo original.

Quando Usar Regressão Linear

A regressão linear é usada quando um resumo por reta é útil e a relação é pelo menos aproximadamente linear no intervalo que importa para você. Usos comuns incluem estimar preço a partir do tamanho, nota a partir do tempo de estudo ou saída a partir da entrada em condições estáveis.

Ela é especialmente útil quando você quer um modelo interpretável. A inclinação, o intercepto e os resíduos são simples o bastante para explicar sem esconder o que o modelo está fazendo.

Uma Verificação Rápida Antes de Confiar na Reta

Antes de usar uma reta de regressão, faça duas perguntas. Um gráfico de dispersão parece aproximadamente linear? O contexto faz a inclinação ter sentido, em vez de ser enganosa? Se alguma resposta for não, outro modelo pode ser melhor.

Tente um Problema Parecido

Escolha quatro pontos, faça um esboço deles e ajuste uma reta com calculadora ou software. Depois, compare os valores previstos com os valores reais. Observar os resíduos costuma ser a maneira mais rápida de entender o que a reta de regressão realmente está fazendo.