Distribuição Binomial — Fórmula, Condições e Exemplo

A distribuição binomial informa a probabilidade de obter exatamente $k$ sucessos em $n$ tentativas. Use-a apenas quando cada tentativa tiver dois resultados para o evento que você está analisando, as tentativas forem independentes e a probabilidade de sucesso permanecer a mesma em todas elas.

Se uma dessas condições falhar, as contas podem até parecer corretas, mas o modelo em si estará errado.

O que significa a distribuição binomial

Suponha que você repita o mesmo tipo de experimento $n$ vezes. Em cada tentativa, você classifica um resultado como sucesso e o outro como fracasso.

Se a probabilidade de sucesso for $p$ em toda tentativa, então a variável aleatória $X$, o número de sucessos, pode seguir uma distribuição binomial.

Você verá isso com frequência escrito como

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

Essa notação significa:

• $n$ é o número de tentativas
• $p$ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa
• $X$ conta quantos sucessos ocorrem

Este é um modelo de contagem. Ele não pergunta em qual tentativa houve sucesso. Ele pergunta quantos sucessos aconteceram no total.

Fórmula da distribuição binomial

Para exatamente $k$ sucessos, a probabilidade é

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Cada parte tem uma função:

• $\binom{n}{k}$ conta de quantas maneiras os $k$ sucessos podem ser distribuídos entre as $n$ tentativas
• $p^k$ dá a probabilidade desses $k$ sucessos
• $(1-p)^{n-k}$ dá a probabilidade dos fracassos restantes

A fórmula vale para $k=0,1,2,\dots,n$.

Quando você pode usar a fórmula binomial

Use um modelo binomial apenas quando todas estas condições forem verdadeiras:

Número fixo de tentativas

Você sabe de antemão quantas tentativas haverá. Por exemplo, lançar uma moeda $8$ vezes atende a essa condição.

Dois resultados por tentativa

Para o evento que você está acompanhando, cada tentativa deve ser classificada como sucesso ou fracasso. Um lançamento de dado ainda pode se encaixar, se você definir sucesso como algo como "tirar $6$".

Tentativas independentes

Uma tentativa não deve alterar a probabilidade da próxima. Amostragem com reposição pode atender a essa condição. Amostragem sem reposição em um grupo pequeno geralmente não atende.

Probabilidade de sucesso constante

O valor de $p$ deve permanecer o mesmo de uma tentativa para outra. Se a chance mudar a cada vez, um modelo binomial simples não é apropriado.

Exemplo resolvido: exatamente 3 caras em 5 lançamentos

Suponha que uma moeda viciada dê cara com probabilidade $0.6$. Você a lança $5$ vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente $3$ caras?

Considere cara como o evento de sucesso. Então

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

Use a fórmula:

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

Agora calcule cada parte:

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

Logo,

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

A probabilidade de obter exatamente $3$ caras é $0.3456$, ou $34.56\%$.

Por que o modelo binomial é válido aqui? O experimento tem um $n$ fixo, dois resultados por lançamento, tentativas independentes e a mesma probabilidade $p=0.6$ em cada lançamento.

Um atalho rápido para "pelo menos um"

Para questões como "pelo menos um sucesso", o complemento costuma ser mais rápido do que somar muitos termos.

Por exemplo, se $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$, então

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

Isso funciona porque "pelo menos um sucesso" é o complemento de "zero sucessos".

Erros comuns em problemas de distribuição binomial

Ignorar as condições

Um erro comum é usar a fórmula binomial quando as tentativas não são independentes. Um exemplo clássico é retirar itens sem reposição de um conjunto pequeno e ainda fingir que $p$ nunca muda.

Entender errado o que significa "sucesso"

Em um problema binomial, sucesso não precisa significar algo bom. Significa apenas o resultado que você escolheu contar.

Confundir "exatamente", "pelo menos" e "no máximo"

Essas expressões levam a cálculos diferentes mesmo no mesmo experimento. "Exatamente $3$" significa um termo, "pelo menos $3$" significa vários termos, e "no máximo $3$" significa outra soma.

Quando a distribuição binomial é usada

A distribuição binomial aparece quando você conta resultados repetidos do tipo sim ou não, como defeituoso vs. não defeituoso, aprovado vs. reprovado, clique vs. sem clique, ou cara vs. coroa.

Ela é útil em controle de qualidade, amostragem em pesquisas sob as hipóteses corretas, questões de confiabilidade e modelos básicos de probabilidade em estatística.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com $8$ lançamentos de uma moeda em que $p=0.4$. Primeiro encontre $P(X=2)$ e depois encontre $P(X \ge 1)$ usando o complemento. Se quiser outro caso, compare o que muda quando as tentativas deixam de ser independentes.