Como fazer Fatoração

Se tivéssemos que resumir a fatoração em poucas palavras, seria: "primeiro, coloque os fatores comuns em evidência", "busque a divisão que se encaixe na forma da expressão" e "por fim, expanda para conferir". Especialmente em expressões quadráticas, o raciocínio central é encontrar números que satisfaçam simultaneamente o produto e a soma.

Por exemplo, para $x^2 + 5x + 6$, devemos procurar o produto de duas expressões que, ao serem expandidas, retornem ao original:

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Isso é a fatoração.

O que é Fatoração?

Fatorar é transformar uma expressão escrita na forma de soma em uma forma de produto. Se a expansão (distributiva) é a "operação de abrir a multiplicação", a fatoração é exatamente o inverso.

Ao transformar a expressão nessa forma, torna-se mais fácil resolver equações e visualizar a estrutura da fórmula. No entanto, nem sempre é possível fatorar facilmente usando apenas números inteiros.

O que observar primeiro?

A primeira coisa a se observar são os fatores comuns a todos os termos. Se você pular essa etapa, a estrutura seguinte ficará mais difícil de visualizar.

Por exemplo,

$6x^2 + 9x$

como ambos os termos possuem $3x$, fazemos:

$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$

Com isso, a expressão já está devidamente fatorada.

Método básico para expressões quadráticas

Para expressões na forma $x^2 + bx + c$, procuramos dois números que satisfaçam simultaneamente as seguintes condições:

1. O produto deve ser $c$
2. A soma deve ser $b$

Este método é especialmente útil quando o coeficiente de $x^2$ é $1$.

Exemplo: Fatorando $x^2 + 7x + 12$

Aqui, procuramos dois números cujo produto seja $12$ e a soma seja $7$.

$3 \times 4 = 12,\qquad 3 + 4 = 7$

Os números que atendem a essas condições são $3$ e $4$, portanto:

$x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$

Para conferir, expandimos a expressão:

$(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

Como retornamos à expressão original, a fatoração está correta.

Erros comuns

1. Esquecer de observar os fatores comuns. Por exemplo, em $4x^2 - 8x$, é mais natural primeiro colocar $4x$ em evidência para obter $4x(x - 2)$.
2. Escolher números onde apenas o produto está correto, mas a soma não. Em expressões quadráticas, ambas as condições são necessárias.
3. Errar os sinais. Especialmente quando $c$ é negativo, é preciso considerar dois números com sinais opostos.
4. Pular a expansão de conferência. Apenas expandir o resultado final permite perceber a maioria dos erros.

Quando utilizar?

A fatoração é muito utilizada ao resolver equações do segundo grau, simplificar expressões e analisar pontos de intersecção em gráficos. Especialmente na forma $ax^2 + bx + c = 0$, a fatoração torna a leitura das raízes (soluções) muito mais simples.

Por outro lado, nem toda expressão pode ser fatorada rapidamente. Existem expressões difíceis de dividir usando inteiros; nesses casos, recorremos ao completamento de quadrados ou à fórmula de Bhaskara.

Próximos passos

Agora, tente fatorar $x^2 - x - 12$ por conta própria. O processo é o mesmo: procure dois números cujo produto seja $-12$ e a soma seja $-1$, e finalize expandindo para conferir.

Se quiser verificar se seus cálculos intermediários estão corretos, tente resolver a mesma expressão por outro método após a conferência manual; isso ajudará a consolidar bastante o seu entendimento.