Expressões Racionais

Uma expressão racional é uma fração cujo numerador e denominador são polinômios, como $\frac{x+1}{x-3}$. O denominador não pode ser zero, então toda expressão racional vem com valores que não são permitidos.

Em geral, uma expressão racional tem a forma

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

em que $P(x)$ e $Q(x)$ são polinômios e $Q(x) \ne 0$.

Se você está tentando entender expressões racionais rapidamente, junte duas ideias: elas são simplificadas como frações, e suas restrições de domínio vêm do denominador original.

O Que É Uma Expressão Racional?

Expressões como

$$\frac{x+2}{x-5}, \quad \frac{x^2-1}{x^2+x}, \quad \frac{3}{x^2+4}$$

são expressões racionais porque cada uma delas é um quociente de polinômios.

Em contraste, $\frac{1}{\sqrt{x}}$ normalmente não é tratada como uma expressão racional na álgebra básica, porque $\sqrt{x}$ não é um polinômio.

Como Simplificar Expressões Racionais com Segurança

A regra principal é simples: cancele fatores, não termos. Se o numerador e o denominador tiverem um fator comum, você pode dividir por esse fator. Você não pode cancelar parte de uma soma ou diferença.

Por exemplo,

$$\frac{x+1}{x+3}$$

não se simplifica "cancelando o $x$". O numerador e o denominador são somas, não fatores iguais.

É por isso que a fatoração vem primeiro. Fatorar mostra se um fator comum realmente existe.

Exemplo Resolvido: Simplifique Uma Expressão Racional

Simplifique

$$\frac{x^2-1}{x^2+x}.$$

Antes de simplificar, encontre os valores que tornam o denominador original igual a zero:

$$x^2 + x = x(x+1),$$

portanto $x \ne 0$ e $x \ne -1$.

Agora fatore as duas partes:

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

e

$$x^2+x = x(x+1).$$

Então a expressão fica

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}.$$

Agora existe um fator comum $(x+1)$, então você pode cancelá-lo:

$$\frac{x-1}{x}.$$

Assim, a expressão simplificada é $\frac{x-1}{x}$, com as restrições originais $x \ne 0$ e $x \ne -1$.

O fator $(x+1)$ desapareceu da fração final, mas a restrição $x \ne -1$ não desapareceu. A expressão original não estava definida nesse valor, então a resposta simplificada deve manter essa condição.

Por Que as Restrições de Domínio Importam

Isso não é apenas um detalhe técnico. Isso muda quais valores pertencem ao domínio da expressão, ou seja, o conjunto de entradas que fazem sentido.

Por exemplo, a expressão simplificada

$$\frac{x-1}{x}$$

está definida em muitos valores, mas quando ela vem de

$$\frac{x^2-1}{x^2+x},$$

o valor $x=-1$ ainda deve ser excluído porque o denominador original se torna zero nesse ponto.

A simplificação pode mudar a aparência de uma expressão racional, mas não apaga os pontos em que a expressão original não estava definida.

Erros Comuns com Expressões Racionais

1. Cancelar termos em vez de fatores. Esse é o erro de álgebra mais comum com expressões racionais.
2. Esquecer de fatorar primeiro. Sem fatorar, muitas vezes você não consegue ver se o cancelamento é válido.
3. Ignorar as restrições do denominador depois de simplificar. As restrições vêm do denominador original.
4. Supor que toda expressão racional pode ser simplificada. Algumas já estão na forma mais simples.

Quando Você Usa Expressões Racionais

As expressões racionais aparecem em álgebra, pré-cálculo e cálculo. Você as encontra ao simplificar fórmulas, resolver equações racionais, estudar gráficos com assíntotas verticais e montar decomposição em frações parciais.

Elas são importantes porque muitas fórmulas são razões. Quando você aprende a fatorar, simplificar e acompanhar as restrições, os tópicos seguintes ficam muito mais fáceis de lidar.

Tente Resolver Um Problema Parecido

Tente simplificar

$$\frac{x^2+3x}{x^2-9}.$$

Fatore primeiro, cancele apenas fatores comuns se eles existirem e escreva as restrições da variável a partir do denominador original. Depois verifique se sua resposta final ainda mantém todos os valores que o denominador original excluía.