Dzielenie ułamków — metoda odwróć i pomnóż

Aby dzielić ułamki, zostaw pierwszy ułamek, odwróć dzielnik i pomnóż. Ten skrót działa, o ile dzielnik nie jest równy zero.

Na przykład

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3}{2}$$

Tutaj wynik jest większy, ponieważ dzielenie przez $\frac{1}{2}$ oznacza pytanie, ile połówek mieści się w $\frac{3}{4}$.

Ogólnie

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

o ile $b \ne 0$, $d \ne 0$ oraz $\frac{c}{d} \ne 0$.

Jak dzielić ułamki

Odwrócony ułamek to odwrotność. Odwrotnością $\frac{2}{3}$ jest $\frac{3}{2}$, ponieważ licznik i mianownik zamieniają się miejscami.

Użyj tego sposobu:

1. Zostaw pierwszy ułamek bez zmian.
2. Odwróć drugi ułamek, czyli dzielnik.
3. Pomnóż „w poprzek”.
4. Uprość wynik.

Dlaczego metoda odwróć i pomnóż działa

Dzielenie przez liczbę jest tym samym co mnożenie przez jej odwrotność multiplikatywną. Dla niezerowego ułamka $\frac{c}{d}$ tą odwrotnością jest $\frac{d}{c}$, ponieważ

$$\frac{c}{d} \times \frac{d}{c} = 1$$

Zatem dzielenie przez $\frac{c}{d}$ daje ten sam wynik co mnożenie przez $\frac{d}{c}$. Właśnie dlatego ta reguła działa — to nie tylko sztuczka do zapamiętania.

Przykład: $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$

Zacznij od

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$$

Zostaw pierwszy ułamek i odwróć dzielnik:

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1}$$

Pomnóż:

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4}$$

Uprość:

$$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

Zatem

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Można to też opisać słowami: „Ile połówek mieści się w trzech czwartych?”. Odpowiedź to $1\frac{1}{2}$ połówki.

Dlaczego dzielenie przez ułamek może dać większy wynik

Uczniowie często oczekują, że dzielenie zawsze zmniejsza liczbę. To prawda, gdy dzielisz przez dodatnią liczbę większą od $1$, ale nie wtedy, gdy dzielisz przez dodatni ułamek mniejszy od $1$.

Jeśli dzielisz przez $\frac{1}{2}$, to liczysz połówki. Ponieważ połówki są mniejszymi częściami niż całości, często zmieści się ich więcej niż jedna w początkowej ilości. Dlatego $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$ jest większe niż $\frac{3}{4}$.

Typowe błędy przy dzieleniu ułamków

Odwracanie niewłaściwego ułamka

Odwracasz tylko drugi ułamek, czyli dzielnik. Pierwszy ułamek zostaje bez zmian.

Zapominanie o warunku zera

Nie można dzielić przez $0$, więc dzielnik nie może być ułamkiem równym zero. Na przykład $\frac{5}{6} \div 0$ jest niezdefiniowane.

Dzielenie licznika przez licznik i mianownika przez mianownik

To nie jest reguła dzielenia ułamków. Po odwróceniu dzielnika należy mnożyć „w poprzek”.

Zapominanie o zapisaniu liczb całkowitych jako ułamków

Jeśli pojawia się liczba całkowita, zapisz ją nad $1$. Na przykład $2 \div \frac{2}{3}$ oznacza $\frac{2}{1} \div \frac{2}{3}$.

Pomijanie prostego skracania

Możesz najpierw pomnożyć i uprościć na końcu, ale czasem łatwiej jest skrócić wspólne czynniki przed mnożeniem. Oba sposoby są poprawne, jeśli przekształcenia algebraiczne są poprawne.

Kiedy używa się dzielenia ułamków

Dzielenie ułamków pojawia się w pomiarach, przepisach kulinarnych, szybkościach jednostkowych i zadaniach ze skalą. Jeśli znasz wielkość jednej części i chcesz wiedzieć, ile takich części mieści się w całej ilości, dzielenie ułamków jest często właściwym modelem.

Na przykład jeśli przepis wymaga $\frac{2}{3}$ szklanki mleka na jedną porcję, a masz $2$ szklanki mleka, to pytanie „Ile porcji mogę zrobić?” przyjmuje postać

$$2 \div \frac{2}{3}$$

To nadal jest dzielenie ułamków, mimo że jedna z liczb jest liczbą całkowitą.

Szybkie sprawdzenie przed przejściem dalej

Po obliczeniu zastanów się, czy wielkość wyniku ma sens.

• Jeśli dzielisz przez dodatni ułamek mniejszy od $1$, wynik powinien być większy.
• Jeśli dzielisz przez dodatnią liczbę większą od $1$, wynik powinien być mniejszy.

To nie zastępuje obliczeń, ale jest dobrym sposobem na wychwycenie błędu w odwróceniu ułamka albo znaku.

Spróbuj podobnego zadania

Oblicz $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$ i zdecyduj, czy wynik powinien być mniejszy czy większy niż $\frac{5}{6}$, zanim zaczniesz liczyć. Jeśli chcesz sprawdzić swoje kroki na jeszcze jednym przykładzie, rozwiąż podobne zadanie za pomocą GPAI Solver.