Lista wzorów rachunku różniczkowego i całkowego

Dla osób, które chcą szybko sprawdzić wzory z rachunku różniczkowego i całkowego, przygotowaliśmy zestawienie najważniejszych form. Różniczkowanie pozwala sprawdzić, „jak bardzo coś zmienia się w danym momencie”, a całkowanie pokazuje, „ile czego się nagromadziło”. Na początek warto zapamiętać podstawowe wzory dla wielomianów, funkcji trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych.

Sama nauka na pamięć często prowadzi do problemów z zastosowaniem wzorów w praktyce, dlatego najlepiej uczyć się ich w zestawie: „gdzie można zastosować dany wzór” oraz „gdzie występują wyjątki”. W całkowaniu szczególnym wyjątkiem jest $n = -1$, natomiast w różniczkowaniu obowiązują osobne zasady dla funkcji iloczynowych, ilorazowych i złożonych.

Szybki przegląd wzorów

Jeśli się spieszysz, te podstawowe formy będą wystarczające.

Podstawowe wzory na pochodne

$\frac{d}{dx} c = 0$

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx} \left(af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

Gdzie $a$, $b$, $c$ są stałymi. Wielomiany można różniczkować składnik po składniku.

W przypadku iloczynów, ilorazów i funkcji złożonych stosujemy poniższe reguły:

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

Ponadto, gdy funkcje są „zagnieżdżone”, niezbędna jest reguła łańcuchowa.

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

W przypadku form zagnieżdżonych, takich jak $(2x+1)^5$ czy $\sin(3x)$, nie można pominąć reguły łańcuchowej.

Podstawowe wzory na całki

$\int c \, dx = cx + C$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

W całkowaniu bardzo łatwo zapomnieć o końcowej stałej $+C$, dlatego przy całkach nieoznaczonych przyjmijmy, że dodajemy ją za każdym razem.

Najczęściej używane wzory na pochodne

Oto najpopularniejsze formy:

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

Wzór na pochodną $\ln x$ stosujemy w zbiorze liczb rzeczywistych, gdy $x > 0$. Zapamiętanie go wraz z dziedziną pozwoli uniknąć pomyłek.

Najczęściej używane wzory na całki

Całki nieoznaczone z funkcji podstawowych najlepiej zapamiętać w parach z odpowiadającymi im pochodnymi.

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

W tych trzech przypadkach często zdarzają się błędy w znakach. Jeśli masz wątpliwości, sprawdź, czy po zróżniczkowaniu wyniku wracasz do funkcji wyjściowej.

Jak działają wzory? Przykład

Rozważmy funkcję:

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

Ponieważ jest to wielomian, zarówno różniczkowanie, jak i całkowanie możemy wykonać dla każdego składnika osobno.

Najpierw obliczamy pochodną:

$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$

Łatwiej śledzić ten proces, myśląc: „obniżam wykładnik o jeden i mnożę przez poprzedni wykładnik”.

Następnie obliczamy całkę nieoznaczoną z tego samego wyrażenia:

$\int \left(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\right)\,dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C$

Ten przykład pokazuje przepływ: w różniczkowaniu wykładnik spada o jeden, a w całkowaniu rośnie o jeden. Jednak ponieważ do całki dodajemy $+C$, nie jest to idealnie jednowartościowa operacja odwrotna, lecz raczej „operacja odwrotna z marginesem stałej”.

Częste błędy w rachunku różniczkowym i całkowym

1. Bezpośrednie podstawianie $n = -1$ do $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Pamiętaj, że $1/x$ to $\ln|x| + C$.
2. W funkcjach złożonych, takich jak $(2x+1)^5$, różniczkowanie tylko zewnętrznej funkcji i zapomnienie o pomnożeniu przez pochodną funkcji wewnętrznej. To klasyczny błąd przy stosowaniu reguły łańcuchowej.
3. Pominięcie $+C$ w całkach. W całkach nieoznaczonych jest to niezbędne.
4. Pomylenie znaków w $\int \sin x \, dx$ i $\int \cos x \, dx$. W razie wątpliwości sprawdź wynik poprzez różniczkowanie.
5. Różniczkowanie każdego składnika osobno w sytuacjach, gdy wymagane jest stosowanie reguły iloczynu lub ilorazu. Iloczyny i ilorazy rządzą się innymi prawami niż suma.

Kiedy stosować te wzory?

Wzory na pochodne wykorzystujemy do obliczania nachylenia stycznej, prędkości, przyspieszenia oraz wyznaczania wartości maksymalnych i minimalnych. Wzory na całki stosujemy głównie do obliczania pól powierzchni, przebytej drogi oraz sumowania (akumulacji) danej wielkości.

Krótko mówiąc: wzory te nie są tylko tabelkami do obliczeń. To narzędzia, które pozwalają nam przechodzić od pytania „jak to się teraz zmienia?” do pytania „ile tego się zebrało?”. Przy takim podejściu wybór odpowiedniego wzoru staje się znacznie bardziej intuicyjny.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj samodzielnie obliczyć pochodną $f(x) = 3x^4 - 2x + 7$, a następnie wyznacz całkę nieoznaczoną z tego samego wyrażenia. Gdy poczujesz się pewnie z wielomianami, spróbuj zróżniczkować $(3x+1)^4$, aby przećwiczyć przypadki wymagające reguły łańcuchowej.

Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, spróbuj rozwiązać zadania z funkcjami trygonometrycznymi lub złożonymi i samodzielnie zdecyduj, którego wzoru należy użyć.