진동 — 단순 조화 운동, 감쇠 진동, 강제 진동

물리학에서 진동은 평형 위치를 중심으로 반복되는 운동 또는 반복되는 변화를 말합니다. 이 주제를 빠르게 이해하려면 세 가지 경우로 나누면 됩니다. 이상적인 단순 조화 운동, 에너지를 잃는 진동, 그리고 외부의 주기적인 힘에 의해 구동되는 진동입니다.

용수철에 매단 질량, 작은 각도에서의 진자, 교류 회로는 모두 진동할 수 있습니다. 이들을 빠르게 구분하는 방법은 다음과 같습니다.

• 단순 조화 운동(SHM)은 복원 효과가 변위에 비례하는 이상적인 경우입니다.
• 감쇠 진동은 에너지가 손실되어 진폭이 시간에 따라 줄어드는 경우입니다.
• 강제 진동은 외부의 주기적인 입력이 계를 계속 구동하는 경우입니다.

구동 진동수가 계의 고유진동수에 가까우면 응답이 훨씬 커질 수 있습니다. 이 기본적인 현상을 공명이라고 합니다.

계가 진동하는 이유는 무엇일까요?

진동하는 계에는 두 가지 요소가 있습니다. 하나는 평형 위치이고, 다른 하나는 계가 변위되었을 때 다시 되돌리려는 복원 효과입니다. 계가 평형점을 지나 다시 움직이면, 관성 때문에 보통 중심을 지나쳐 가게 되고, 그래서 운동이 반복됩니다.

하지만 이렇게 반복된다고 해서 자동으로 단순 조화 운동이 되는 것은 아닙니다. 단순 조화 운동은 더 좁은 의미의 이상적인 모델이며, 다음과 같은 특정 조건이 필요합니다.

$$F = -kx$$

용수철의 경우에는 위와 같고, 더 일반적으로는 복원 효과가 변위에 비례해야 합니다. 마이너스 부호는 힘의 방향이 평형 위치 쪽을 향한다는 뜻이므로 중요합니다.

단순 조화 운동: 이상적인 경우

이상적인 단순 조화 운동에서는 가속도가 변위에 비례하고 방향은 반대입니다.

$$a = -\omega^2 x$$

이 조건은 사인파 형태의 운동으로 이어집니다. 질량이 $m$이고 용수철 상수가 $k$인 용수철-질량계에서는

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

그리고

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

여기서 $T$는 주기입니다.

직관적으로 이해하면 간단합니다. 용수철이 더 단단할수록 더 세게 당기므로 진동은 더 빠릅니다. 질량이 클수록 가속도 변화에 더 잘 저항하므로 진동은 더 느립니다.

감쇠 진동: 왜 진폭이 줄어들까?

실제 계는 보통 에너지를 잃습니다. 공기 저항, 마찰, 내부 변형, 전기 저항은 모두 감쇠로 작용합니다.

감쇠가 중요해지면 운동은 한동안 계속 진동하더라도 진폭이 시간에 따라 작아집니다. 계가 원래 크기의 운동을 유지할 만큼 충분한 에너지를 얻지 못하기 때문입니다.

감쇠가 작으면 운동은 여전히 대체로 주기적으로 보입니다. 감쇠가 크면 계는 반복 진동을 완성하지 못한 채 평형 위치로 돌아갈 수도 있습니다.

강제 진동과 공명

강제 진동은 외부의 주기적인 영향이 계를 계속 밀어줄 때 일어납니다. 아이가 그네를 타며 몸을 움직이는 경우, 교번 신호로 구동되는 스피커 진동판, 반복적인 지반 운동으로 흔들리는 건물은 모두 그 예입니다.

핵심은 구동 진동수가 중요하다는 점입니다. 그것이 고유진동수와 많이 다르면 응답은 크지 않을 수 있습니다. 반대로 가까우면 진폭이 훨씬 커질 수 있습니다.

이처럼 응답이 크게 나타나는 구간을 공명이라고 합니다. 더 정확히 말하면, 감쇠가 작은 경우 가장 강한 응답은 대개 고유진동수 근처에서 나타나며, 정확한 최대값은 감쇠의 크기와 어떤 물리량을 추적하느냐에 따라 달라집니다.

예제: 하나의 용수철로 보는 세 가지 개념

질량이 $0.50\ \mathrm{kg}$인 물체가 $k = 200\ \mathrm{N/m}$인 이상적인 용수철에 연결되어 있다고 가정해 봅시다.

먼저 각진동수를 구합니다.

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

이제 주기를 구합니다.

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

따라서 이상적인 단순 조화 운동 모델에서 이 계는 약 $0.314$초마다 한 번 진동합니다. 고유진동수는

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} \approx 3.18\ \mathrm{Hz}$$

즉, 1초에 약 $3.18$번 진동한다는 뜻입니다.

이제 같은 계로 더 큰 그림을 봅시다.

• 마찰을 무시하고 그냥 놓아주면 운동은 이상적인 단순 조화 운동입니다.
• 공기 저항이나 내부 마찰이 있으면 진폭이 점차 감소하므로 감쇠 진동입니다.
• 모터나 외력으로 주기적으로 계속 밀어주면 운동은 강제 진동입니다.

그 구동력이 약 $3.18\ \mathrm{Hz}$에 가까운 비율로 반복되고 감쇠가 작다면, 응답은 공명에서 멀리 떨어진 경우보다 훨씬 더 커질 수 있습니다.

이 한 가지 예만으로도 주제를 정리할 수 있습니다. 단순 조화 운동은 이상적인 시간적 특성을 설명하고, 감쇠는 실제 운동이 왜 점점 약해지는지 설명하며, 강제 진동은 외부 입력이 어떻게 운동을 유지하거나 더 크게 만들 수 있는지를 설명합니다.

진동에서 자주 하는 실수

모든 진동을 단순 조화 운동이라고 부르기

단순한 왕복 운동만으로는 충분하지 않습니다. 단순 조화 운동이 되려면 복원 효과가 변위에 비례해야 합니다.

감쇠는 진폭만 바꾼다고 생각하기

감쇠가 작을 때 가장 눈에 띄는 변화는 보통 진폭 감소이지만, 감쇠는 운동의 세부적인 모습도 바꿉니다. 단지 겉보기 효과만은 아닙니다.

강제 진동은 항상 한없이 커진다고 가정하기

실제 계에는 보통 감쇠가 있으며, 이것이 정상 상태 응답의 크기를 제한합니다. 이 점을 놓치면 공명을 쉽게 오해하게 됩니다.

공명은 어떤 경우에도 반드시 정확히 고유진동수에서 일어난다고 말하기

그렇게 말하면 너무 느슨합니다. 기초 물리에서는 모델과 측정하는 물리량이 명확하지 않다면 “고유진동수 근처”라고 말하는 편이 더 안전합니다.

물리학에서 진동은 어디에 나타날까?

진동 모델은 역학적 계, 소리와 진동, 전기 회로, 분자 운동, 시계, 센서, 구조공학 등에서 나타납니다. 많은 실제 계가 반복 운동을 하고, 에너지를 저장하고, 에너지를 잃고, 반복적인 구동에 강하게 반응하기 때문에 중요합니다.

그래서 같은 개념이 매우 다른 곳에서도 반복해서 등장합니다. 자동차 서스펜션, 진자 시계, 기타 줄, RLC 회로는 모두 고유진동수, 감쇠, 구동이라는 같은 기본 언어로 설명할 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어보세요

같은 용수철에서 질량을 두 배로 늘려 $1.0\ \mathrm{kg}$으로 두어 보세요. $T$와 고유진동수를 다시 계산한 뒤 원래 값과 비교해 보세요. 그다음 새로운 고유진동수 근처에서 주기적인 구동력이 작용하면 어떤 일이 일어나는지 생각해 보세요. 더 나아가고 싶다면 같은 질문을 진자나 RLC 회로에 대해서도 풀어 보세요.