부등변삼각형 — 성질

부등변삼각형은 세 변의 길이가 모두 다른 삼각형입니다. 유클리드 기하학에서는 이것이 세 내각의 크기도 모두 다르다는 뜻입니다. 세 변의 길이가 모두 다르고 삼각형의 성립 조건도 만족하면, 그 삼각형은 부등변삼각형입니다.

이것이 대부분의 학생이 알아야 할 핵심입니다. 부등변이라는 말은 같은 길이의 변에서 나오는 대칭성이 없다는 뜻이므로, 밑각이 같다는 식의 이등변삼각형 성질을 사용하면 안 됩니다.

꼭 알아야 할 부등변삼각형의 성질

부등변삼각형에서는 다음이 성립합니다.

1. 세 변의 길이가 모두 다릅니다.
2. 세 내각의 크기가 모두 다릅니다.
3. 가장 긴 변은 가장 큰 각과 마주 봅니다.
4. 가장 짧은 변은 가장 작은 각과 마주 봅니다.
5. 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형이 모두 될 수 있습니다.

마지막 성질이 중요합니다. "부등변"은 각의 종류가 아니라 변의 길이 관계를 설명하는 말입니다.

왜 각의 크기가 모두 달라야 할까?

어떤 삼각형에서든 길이가 같은 두 변에 마주 보는 각의 크기는 같습니다. 그 역도 성립해서, 크기가 같은 두 각에 마주 보는 변의 길이도 같습니다.

따라서 같은 길이의 변이 하나도 없다면, 같은 크기의 각도 있을 수 없습니다. 보통은 이를 알기 위해 각을 직접 계산할 필요가 없습니다. 변의 길이만으로도 이미 결정되기 때문입니다.

변의 길이가 4, 5, 6인 예제

변의 길이가 $4$, $5$, $6$인 삼각형을 생각해 봅시다.

먼저 이 길이들로 삼각형이 만들어지는지 확인합니다.

$$4 + 5 > 6, \quad 4 + 6 > 5, \quad 5 + 6 > 4$$

따라서 이 삼각형은 성립합니다. 세 변의 길이가 모두 다르므로 부등변삼각형입니다.

이제 각에 대한 중요한 정보도 바로 알 수 있습니다.

1. 가장 큰 각은 길이가 $6$인 변과 마주 봅니다.
2. 가장 작은 각은 길이가 $4$인 변과 마주 봅니다.
3. 나머지 각은 길이가 $5$인 변과 마주 봅니다.

이 정보만으로도 모든 각의 크기를 정확히 구하지 않고 기하 문제를 해결할 때가 많습니다.

부등변삼각형을 판별할 때 자주 하는 실수

1. 먼저 삼각형의 성립 조건을 확인하지 않는 것.
2. "정삼각형이 아니면 부등변삼각형이다"라고 생각하는 것. 이등변삼각형은 정삼각형이 아니지만, 부등변삼각형도 아닙니다.
3. 부등변삼각형은 직각삼각형일 수 없다고 생각하는 것. 가능합니다.
4. 변의 종류와 각의 종류를 혼동하는 것. "부등변"은 오직 변의 같고 다름만을 말합니다.

부등변삼각형의 성질은 언제 쓰일까?

삼각형의 분류가 다음 풀이 단계에 영향을 줄 때 이 성질들을 사용합니다. 기하 문제에서는 보통 대칭성을 이용한 풀이가 가능한지 판단하는 상황이 많습니다.

삼각형이 부등변삼각형이면, 보통 특별한 대칭 성질 대신 일반적인 도구를 써야 합니다. 문제에 따라 사인 법칙, 코사인 법칙, 또는 넓이 공식을 사용할 수 있습니다.

빠른 확인

변의 길이가 $7$, $7$, $10$인 삼각형은 두 변의 길이가 같으므로 부등변삼각형이 아닙니다. 변의 길이가 $5$, $7$, $9$인 삼각형은 세 변의 길이가 모두 다르고 삼각형의 성립 조건도 만족하므로 부등변삼각형입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

변의 길이가 $5$, $7$, $9$인 경우를 생각해 보세요. 삼각형의 성립 조건을 확인하고, 부등변삼각형인지 판단한 뒤, 마주 보는 변을 보고 각의 크기를 작은 것부터 큰 것까지 순서대로 정해 보세요. 그다음에는 이등변삼각형과 비교하면서 어떤 대칭성에 관한 풀이가 더 이상 통하지 않는지도 살펴보세요.