대수방정식 — 종류와 풀이

대수방정식은 두 대수식이 서로 같다고 나타내는 식입니다. 이를 푼다는 것은 그 등식이 참이 되게 하는 값 또는 값들을 찾는다는 뜻입니다.

가장 먼저 할 일은 방정식의 종류를 파악하는 것입니다. 일차방정식, 이차방정식, 유리방정식은 풀이 방법이 서로 다르므로, 식의 구조를 보면 다음에 무엇을 해야 할지 알 수 있습니다.

대수방정식이란 무엇인가

간단한 예는 다음과 같습니다.

$$2x + 3 = 11.$$

$x = 4$이면 양변의 값이 같아지므로, $x = 4$는 해입니다.

더 일반적으로 말하면, 대수방정식은 변수, 수, 그리고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱 같은 연산으로 이루어집니다. 가능한 해는 어떤 수 체계를 쓰는지에 따라 달라집니다. 예를 들어 어떤 방정식은 실수해는 없지만 복소수해는 가질 수 있습니다.

대수방정식의 주요 종류

일차방정식

일차방정식에서는 변수가 1차로만 나타납니다.

$$3x - 5 = 10.$$

이런 식은 보통 변수를 한쪽으로 고립시켜 풉니다.

이차방정식

이차방정식에는 제곱항이 포함됩니다.

$$x^2 - 5x + 6 = 0.$$

실수 범위에서 이차방정식은 서로 다른 두 해, 중근 하나, 또는 실수해가 없을 수 있습니다.

유리방정식

유리방정식은 분모에 변수가 들어 있는 방정식입니다.

$$\frac{x + 1}{x - 2} = 3.$$

이 경우는 허용되지 않는 값이 있으므로 특히 주의해야 합니다. 여기서는 $x = 2$를 시작하기 전에 제외해야 합니다.

근호방정식

근호방정식은 근호 안에 변수가 들어 있는 방정식입니다.

$$\sqrt{x + 5} = x - 1.$$

이런 식은 양변을 제곱해야 하는 경우가 많은데, 그 과정에서 원래 방정식을 만족하지 않는 해가 생길 수 있습니다.

풀이 방법은 어떻게 고를까

식의 구조를 기준으로 판단하세요.

• 방정식이 일차방정식이면 변수를 고립시킵니다.
• 이차방정식이면 인수분해가 깔끔하게 될 때 가장 빠른 경우가 많습니다. 그렇지 않다면 완전제곱식 만들기나 근의 공식을 쓰는 편이 더 좋을 수 있습니다.
• 유리방정식이면 먼저 정의되지 않는 값을 확인한 뒤, 분모를 조심해서 없앱니다.
• 근호방정식이면 제곱하기 전에 먼저 근호를 한쪽으로 고립시키고, 나온 모든 결과를 원래 방정식에 대입해 확인합니다.

핵심은 단순합니다. 방정식의 형태에 맞는 방법을 고르는 것입니다.

풀이 예제: 이차방정식 풀기

다음을 풉니다.

$$x^2 - 5x + 6 = 0.$$

이 식은 이차방정식이므로, 먼저 인수분해가 잘 되는지 확인합니다. 곱해서 $6$이 되고 더해서 $-5$가 되는 두 수가 필요합니다. 그 수는 $-2$와 $-3$이므로,

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).$$

이제 곱이 0이면 적어도 하나는 0이라는 성질을 사용합니다.

$$(x - 2)(x - 3) = 0.$$

적어도 한 인수는 0이어야 하므로,

$$x - 2 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0.$$

따라서 가능한 해는

$$x = 2 \quad \text{or} \quad x = 3.$$

이제 두 값을 모두 원래 식에 대입해 확인합니다.

$$2^2 - 5(2) + 6 = 0$$

그리고

$$3^2 - 5(3) + 6 = 0.$$

두 경우 모두 성립하므로, 두 값 모두 올바른 해입니다.

대수방정식을 풀 때 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 식의 구조에 맞지 않는 방법을 고르는 것입니다. 방정식이 이차방정식인데 일차방정식처럼 다루면 보통 해결되지 않습니다.

또 다른 실수는 제한 조건을 무시하는 것입니다. 유리방정식에서는 분모를 0으로 만드는 값은 계산 과정에서 나와도 반드시 제외해야 합니다.

세 번째 실수는 근호방정식에서 자주 나타납니다. 양변을 제곱하면 가짜해가 생길 수 있으므로, 마지막에 반드시 원래 방정식에 대입해 확인해야 합니다.

대수방정식은 어디에 쓰일까

대수방정식은 어떤 관계를 기호로 나타내고, 그 안에서 미지의 값을 찾아야 할 때마다 등장합니다. 학교 수학의 대수, 기하 공식, 금융 문제, 그리고 많은 물리·공학 모델이 여기에 포함됩니다.

중요한 습관은 언제나 같습니다. 먼저 식의 구조를 읽고, 그다음에 풉니다.

비슷한 방정식을 직접 풀어보기

이번에는 $x^2 - 7x + 10 = 0$을 직접 풀어 보세요. 먼저 어떤 종류의 방정식인지 분류하고, 그에 맞는 방법을 고른 뒤, 각 해를 원래 식에 대입해 확인해 보세요. 다른 경우도 보고 싶다면, 이 과정을 간단한 일차방정식과 비교하면서 방정식의 종류가 전략을 어떻게 바꾸는지 살펴보세요.