이항분포 — 공식, 조건, 예제

이항분포는 $n$번의 시행에서 정확히 $k$번 성공할 확률을 알려 줍니다. 관심 있는 사건에 대해 각 시행이 두 가지 결과만 가져야 하고, 시행들이 서로 독립이며, 매번 성공확률이 같을 때만 사용해야 합니다.

이 조건들 중 하나라도 깨지면 계산식은 맞아 보일 수 있어도, 모델 자체는 잘못된 것입니다.

이항분포의 의미

같은 종류의 시행을 $n$번 반복한다고 가정해 봅시다. 각 시행에서 한 결과를 성공, 다른 결과를 실패라고 정합니다.

매 시행의 성공확률이 모두 $p$라면, 성공 횟수를 나타내는 확률변수 $X$는 이항분포를 따를 수 있습니다.

이것은 보통 다음과 같이 씁니다.

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

이 표기는 다음을 뜻합니다.

• $n$은 시행 횟수
• $p$는 각 시행에서의 성공확률
• $X$는 성공이 몇 번 일어났는지를 셈

이것은 개수를 세는 모델입니다. 어떤 시행에서 성공했는지는 묻지 않습니다. 전체적으로 성공이 몇 번 나왔는지를 묻습니다.

이항분포 공식

정확히 $k$번 성공할 확률은 다음과 같습니다.

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

각 부분은 다음 역할을 합니다.

• $\binom{n}{k}$는 $n$번의 시행 중 $k$번의 성공이 배치될 수 있는 경우의 수를 셉니다
• $p^k$는 그 $k$번의 성공이 일어날 확률입니다
• $(1-p)^{n-k}$는 나머지 실패들이 일어날 확률입니다

이 공식은 $k=0,1,2,\dots,n$에 대해 성립합니다.

언제 이항분포 공식을 사용할 수 있나

이항모형은 다음 조건이 모두 참일 때만 사용합니다.

시행 횟수가 고정되어 있음

시행이 몇 번인지 미리 알고 있어야 합니다. 예를 들어 동전을 $8$번 던지는 것은 이 조건에 맞습니다.

각 시행에 두 가지 결과가 있음

추적하는 사건에 대해 각 시행은 성공 또는 실패로 분류될 수 있어야 합니다. 주사위를 던지는 경우도 성공을 "6이 나오는 것"처럼 정의하면 이 조건에 맞을 수 있습니다.

시행들이 서로 독립임

한 시행의 결과가 다음 시행의 확률을 바꾸면 안 됩니다. 복원추출은 이 조건에 맞을 수 있습니다. 작은 집단에서 비복원추출을 하는 경우는 보통 맞지 않습니다.

성공확률이 일정함

$p$의 값이 시행마다 같아야 합니다. 매번 확률이 달라진다면, 단순한 이항모형은 적절하지 않습니다.

예제: 5번 던져 정확히 3번 앞면

앞면이 나올 확률이 $0.6$인 치우친 동전이 있다고 합시다. 이 동전을 $5$번 던질 때, 정확히 $3$번 앞면이 나올 확률은 얼마일까요?

앞면을 성공 사건으로 두면,

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

공식을 사용하면,

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

이제 각 부분을 계산합니다.

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

따라서,

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

정확히 $3$번 앞면이 나올 확률은 $0.3456$, 즉 $34.56\%$입니다.

여기서 왜 이항모형이 타당할까요? 시행 횟수 $n$이 고정되어 있고, 각 던지기마다 두 가지 결과가 있으며, 시행들이 서로 독립이고, 매번 같은 확률 $p=0.6$을 가지기 때문입니다.

"적어도 한 번"을 빠르게 구하는 방법

"적어도 한 번 성공" 같은 문제는 여러 항을 더하는 것보다 여사건을 쓰는 편이 더 빠를 때가 많습니다.

예를 들어 $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$이면,

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

이것이 가능한 이유는 "적어도 한 번 성공"이 "성공이 0번"의 여사건이기 때문입니다.

이항분포 문제에서 자주 하는 실수

조건을 무시함

흔한 실수는 시행들이 독립이 아닌데도 이항공식을 사용하는 것입니다. 대표적인 예가 작은 집합에서 비복원추출을 하면서도 $p$가 전혀 변하지 않는다고 가정하는 경우입니다.

"성공"의 의미를 잘못 이해함

이항문제에서 성공은 꼭 좋은 결과를 뜻하지 않습니다. 단지 세기로 정한 결과를 의미할 뿐입니다.

"정확히", "적어도", "많아야"를 혼동함

이 표현들은 같은 실험에서도 서로 다른 계산으로 이어집니다. "정확히 $3$번"은 한 항이고, "적어도 $3$번"은 여러 항의 합이며, "많아야 $3$번"은 또 다른 합입니다.

이항분포는 언제 쓰이나

이항분포는 불량 대 정상, 합격 대 불합격, 클릭 대 미클릭, 앞면 대 뒷면처럼 예/아니오 형태의 결과가 반복될 때 그 횟수를 셀 때 나타납니다.

품질 관리, 적절한 가정 아래의 표본조사, 신뢰성 문제, 통계의 기초 확률모형에서 유용하게 쓰입니다.

비슷한 문제를 직접 풀어 보세요

성공확률이 $p=0.4$인 동전을 $8$번 던지는 경우를 직접 해 보세요. 먼저 $P(X=2)$를 구하고, 그다음 여사건을 이용해 $P(X \ge 1)$를 구해 보세요. 또 다른 경우로는 시행들이 더 이상 독립이 아닐 때 무엇이 달라지는지도 비교해 보세요.