점기울기형

점기울기형은 직선의 방정식을 나타내는 공식입니다.

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

수직선이 아닌 직선 위의 한 점과 기울기를 알고 있을 때 사용합니다. 이 공식에서 $(x_1, y_1)$는 알고 있는 점이고, $m$은 기울기입니다. 기울기절편형으로 바꾸기 전에 방정식을 가장 빠르게 쓰는 방법인 경우가 많습니다.

점기울기형의 의미

기울기는 세로 변화량을 가로 변화량과 비교한 값입니다. 직선의 기울기가 $m$이면,

$$m = \frac{y - y_1}{x - x_1}$$

단, $x \ne x_1$이어야 합니다. 양변에 $x - x_1$을 곱하면

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

를 얻습니다. 즉, 점기울기형은 기울기의 정의를 알고 있는 점이 그대로 보이도록 다시 쓴 형태입니다.

이 공식이 유용한 이유

$(x_1, y_1)$를 기준점이라고 생각해 보세요. 식 $x - x_1$은 그 점에서 가로로 얼마나 이동했는지를 나타냅니다. 여기에 $m$을 곱하면 그에 대응하는 세로 변화량이 되므로, $y - y_1$은 반드시 $m(x - x_1)$와 같아야 합니다.

그래서 이 형태는 매우 직접적으로 느껴집니다. 알고 있는 한 점에서 시작해서, 기울기를 이용해 직선을 만들어 가는 방식입니다.

예제: 한 점과 기울기로 직선의 방정식 쓰기

기울기가 $-4$이고 $(2, 3)$을 지나는 직선의 방정식을 구해 봅시다.

먼저 공식을 씁니다.

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

여기에 $m = -4$, $x_1 = 2$, $y_1 = 3$을 대입하면

$$y - 3 = -4(x - 2)$$

이 식은 이미 점기울기형의 올바른 최종 답입니다.

기울기절편형으로 쓰고 싶다면 전개합니다.

$$y - 3 = -4x + 8$$ $$y = -4x + 11$$

두 식은 같은 직선을 나타냅니다. 점기울기형과 기울기절편형은 같은 관계를 서로 다른 방식으로 나타낸 것입니다.

간단히 확인하면 실수를 줄일 수 있습니다. 주어진 점을 대입해 봅시다.

$$y - 3 = -4(2 - 2) = 0$$

따라서 $y = 3$이고, 이는 원래 점 $(2, 3)$과 일치합니다.

점기울기형에서 자주 하는 실수

1. 점의 좌표값을 뒤바꾸는 경우. 점이 $(2, 3)$이면 $y - 3$, $x - 2$로 써야지, $y - 2$, $x - 3$으로 쓰면 안 됩니다.
2. 음수 좌표에서 마이너스 부호를 놓치는 경우. 점이 $(-1, 5)$이면 $x - (-1)$은 $x + 1$이 됩니다.
3. 반드시 식을 정리해야 한다고 생각하는 경우. $y - 3 = -4(x - 2)$도 이미 올바른 직선의 방정식입니다.
4. 수직선에 점기울기형을 사용하는 경우. 수직선의 기울기는 정의되지 않으므로, 대신 $x = c$로 씁니다.

점기울기형을 사용하는 때

다음 두 가지를 모두 알고 있을 때 점기울기형을 사용합니다.

1. 수직선이 아닌 직선 위의 한 점
2. 그 직선의 기울기

대수와 좌표기하 문제에서 자주 등장하는데, 많은 문제가 바로 이 정보를 주기 때문입니다. 또한 두 점으로부터 기울기를 구한 뒤 직선의 방정식이 여전히 필요할 때도 유용합니다.

넘어가기 전에 빠르게 확인하기

문제에서 준 점을 다시 보세요. 그 점이 $y - y_1 = m(x - x_1)$ 안에 분명하게 보이지 않거나, 그 점을 대입했을 때 양변이 같아지지 않는다면 대입이 잘못되었을 가능성이 큽니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

기울기가 $\frac{1}{2}$이고 $(-4, 1)$을 지나는 직선의 방정식을 써 보세요. 먼저 점기울기형으로 쓰고, 원하면 그다음에만 기울기절편형으로 바꿔 보세요. 한 가지 경우를 더 보고 싶다면 다음으로 기울기절편형을 살펴보고, 같은 직선이 두 형식에서 어떻게 보이는지 비교해 보세요.