수열의 합 공식

수열의 합 공식에서 가장 자주 쓰이는 것은 딱 두 가지입니다. 바로 등차수열의 첫 $n$ 항까지의 합과 등비수열의 첫 $n$ 항까지의 합이죠. 문제를 풀 때 무작정 공식부터 대입하기보다는, 먼저 수열의 규칙을 파악하는 것이 중요합니다. 이웃한 두 항의 차이가 일정하다면 등차수열의 합 공식을, 이웃한 두 항의 비율이 일정하다면 등비수열의 합 공식을 사용하세요.

수열의 합, 이 두 가지 공식부터 확인하세요

등차수열의 첫 $n$ 항까지의 합은 다음과 같습니다.

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

만약 공차 $d$를 알고 있다면 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$

등비수열의 첫 $n$ 항까지의 합은 $q \ne 1$일 때 다음과 같습니다.

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

여기서 $a_1$은 첫째항, $a_n$는 제 $n$ 항, $q$은 공비입니다. 등비수열 공식은 다음과 같이 쓰기도 합니다.

$S_n = a_1 \frac{q^n-1}{q-1}$

이 두 가지 표현은 분자와 분모의 부호를 동시에 바꾼 것이므로 서로 동일한 식입니다.

수열의 유형을 먼저 판단하고 합을 구하세요

숫자들이 나열되어 있다면, 먼저 이웃한 두 항 사이의 관계를 살펴보세요. 예를 들어 $3, 7, 11, 15$는 매번 $4$씩 더해지므로 등차수열입니다. 반면 $2, 6, 18, 54$는 매번 $3$를 곱하므로 등비수열이죠.

이 단계는 공식을 외우는 것보다 훨씬 중요합니다. 수열의 유형을 잘못 판단하면 이후의 계산 과정이 완전히 틀어질 수 있기 때문입니다.

등차수열의 합 공식이 직관적인 이유

등차수열의 공식이 유용한 이유는 첫 항과 끝 항을 짝지었을 때, 각 쌍의 합이 모두 같기 때문입니다. 수열을 정방향으로 나열하면

$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots,\ a_n$

역방향으로 나열하면

$a_n,\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \dots,\ a_1$

이렇게 두 수열을 같은 위치에서 더하면 모든 쌍이 $a_1 + a_n$이 됩니다. 따라서 합의 2배는 다음과 같습니다.

$2S_n = n(a_1 + a_n)$

그러므로

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

이것이 바로 등차수열의 합 공식이 만들어진 가장 직관적인 원리입니다.

예제: 항의 개수를 먼저 구하고, n항까지의 합 구하기

등차수열 $5, 8, 11, \dots, 32$의 합을 구해봅시다.

먼저 유형을 판단합니다. 이웃한 두 항이 모두 $3$씩 증가하므로 이는 등차수열입니다.

주어진 값은 다음과 같습니다.

• 첫째항 $a_1 = 5$
• 끝항 $a_n = 32$
• 공차 $d = 3$

여기서 가장 실수하기 쉬운 점은 문제에서 끝항 $32$는 주어졌지만, 항의 개수인 $n$은 직접 알려주지 않았다는 것입니다. 따라서 먼저 일반항 공식을 이용해 $n$를 구해야 합니다.

$a_n = a_1 + (n-1)d$

값을 대입하면

$32 = 5 + (n-1)\cdot 3$

$27 = 3(n-1)$

$n-1 = 9$

$n = 10$

이제 합 공식에 대입합니다.

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S_{10} = \frac{10(5+32)}{2}$

$S_{10} = 5 \cdot 37 = 185$

따라서 이 수열의 합은 $185$입니다.

이 예제에서 가장 핵심은 단순히 공식을 대입하는 것이 아니라, $n$이 주어지지 않았음을 파악하고 이를 먼저 계산해내는 것입니다.

등비수열의 합 공식은 언제 사용할까요?

각 항이 이전 항에 일정한 수를 곱해서 만들어진다면 등비수열을 고려하세요.

예를 들어 다음과 같은 수열이 있습니다.

$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32$

첫째항은 $2$, 공비는 $2$이므로, 첫 $5$ 항까지의 합은 다음과 같습니다.

$S_5 = 2\frac{1-2^5}{1-2}$

$S_5 = 2\frac{1-32}{-1} = 62$

직접 더해서 확인해 볼 수도 있습니다.

$2+4+8+16+32 = 62$

만약 $q = 1$라면 분모가 $0$이 되어 등비수열의 합 공식을 직접 사용할 수 없습니다. 이 경우 모든 항이 같으므로, 첫 $n$ 항까지의 합은 다음과 같이 간단히 쓸 수 있습니다.

$S_n = na_1$

가장 자주 발생하는 실수들

'끝항'을 '항의 개수'로 착각하는 경우

"$32$까지 구하라"는 말은 마지막 항이 $32$라는 뜻이지, 총 $32$개의 항이 있다는 뜻이 아닙니다. 위의 예제처럼 반드시 일반항 관계를 통해 $n$을 먼저 구해야 합니다.

규칙이 아닌 숫자 크기만 보는 경우

어떤 수열이 "빠르게 증가"한다고 해서 무조건 등비수열로 오판하거나, 앞의 두 항만 보고 성급하게 결론을 내리는 경우가 있습니다. 가장 확실한 방법은 이웃한 항들의 차이를 비교하거나 비율을 비교하는 것입니다.

등비수열 공식의 조건을 확인하지 않는 경우

공식

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

은 오직 $q \ne 1$일 때만 바로 적용됩니다. 만약 $q = 1$라면 $S_n = na_1$를 사용해야 합니다.

수열의 합은 어디에 활용될까요?

수열의 합은 중고교 대수 문제, 수학적 귀납법의 기초 훈련, 그리고 금융의 할부 및 복리 모델 등에서 자주 등장합니다. 규칙적인 이산량(discrete quantity)이 주어지고 그 총합을 구해야 한다면, 수열의 합 공식이 핵심 도구가 됩니다.

직접 문제를 풀어보세요

수열 $4, 9, 14, 19, 24$의 합을 직접 구해 보세요. 먼저 이 수열이 등차수열인지 판단한 뒤, $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$을 바로 사용할 수 있을지 결정해 보세요.

그다음, 등비수열 버전인 $3, 6, 12, 24$의 첫 $4$ 항까지의 합도 구해 보세요. 이 두 문제를 함께 풀어보면 '차이가 일정함'과 '비율이 일정함'의 차이를 더 빠르게 이해할 수 있을 것입니다.