수열 공식 정리

수열 공식은 규칙이 있는 수열에서 $n$번째 항과 앞의 $n$개 항의 합을 빠르게 구하는 식입니다. 시험에서는 보통 등차수열 공식과 등비수열 공식을 묻기 때문에, 먼저 "차이가 일정한가"와 "비가 일정한가"를 구분하면 됩니다.

바로 써먹는 핵심 공식은 아래 네 개입니다.

수열 공식 한눈에 보기

등차수열에서 공차가 $d$이면

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$ $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$$

등비수열에서 공비가 $r$이면

$$a_n = a_1 r^{n-1}$$ $$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \quad \text{if } r \ne 1$$

그리고 $r = 1$이면 모든 항이 $a_1$이므로

$$S_n = na_1$$

여기서 $a_n$은 $n$번째 항이고, $S_n$은 첫째 항부터 $n$번째 항까지의 합입니다. 문제에서 무엇을 구하라는지 먼저 확인해야 공식을 섞어 쓰지 않습니다.

등차수열 공식과 등비수열 공식을 구분하는 법

등차수열은 이웃한 두 항의 차이가 일정한 수열입니다. 예를 들어 $3, 7, 11, 15, \dots$는 매번 $4$씩 커지므로 공차가 $d=4$입니다.

등비수열은 이웃한 두 항의 비가 일정한 수열입니다. 예를 들어 $2, 6, 18, 54, \dots$는 매번 $3$배가 되므로 공비가 $r=3$입니다.

이 구분이 먼저입니다. 차이가 일정한데 등비수열 공식을 쓰거나, 비가 일정한데 등차수열 공식을 쓰면 이후 계산이 모두 틀어집니다.

공식이 왜 이런 모양인지 직관적으로 보기

등차수열의 일반항 $a_n = a_1 + (n-1)d$는 첫째 항에서 공차를 $n-1$번 더한 결과입니다. 한 칸 이동할 때마다 같은 수만큼 더해진다고 보면 됩니다.

등비수열의 일반항 $a_n = a_1r^{n-1}$는 첫째 항에 공비를 $n-1$번 곱한 결과입니다. 한 칸 이동할 때마다 같은 배율만큼 커지거나 작아지는 구조입니다.

그래서 등차수열은 일정한 폭으로 변하고, 등비수열은 변화가 누적됩니다. 다만 등비수열도 공비가 $0 < r < 1$이면 항이 점점 작아집니다.

수열 공식 예제: 일반항과 합을 같이 구하기

수열 $5, 8, 11, 14, \dots$를 보겠습니다.

차이가 항상 $3$이므로 등차수열이고, 첫째 항은 $a_1=5$, 공차는 $d=3$입니다.

10번째 항 구하기

등차수열의 일반항 공식을 쓰면

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

따라서

$$a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 = 5 + 27 = 32$$

즉, 10번째 항은 $32$입니다.

첫 10개 항의 합 구하기

합 공식

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$$

에 $n=10$, $a_1=5$, $a_{10}=32$를 넣으면

$$S_{10} = \frac{10}{2}(5+32) = 5 \cdot 37 = 185$$

이 예제에서 핵심은 기호를 구분하는 것입니다. $a_{10}$은 한 항이고, $S_{10}$은 앞의 10개를 모두 더한 값입니다. 문제에서 "10번째 항"인지 "처음 10개 항의 합"인지 먼저 읽어야 합니다.

수열 공식에서 자주 틀리는 실수

일반항과 합 공식을 섞어 쓰기

$a_n$을 구해야 하는데 $S_n$ 공식을 쓰거나, 반대로 합을 구해야 하는데 일반항만 계산하고 끝내는 경우가 많습니다. 문제에서 "몇 번째 항"인지, "몇 개의 합"인지 먼저 확인해야 합니다.

등비수열인데 차이를 보는 실수

예를 들어 $2, 4, 8, 16, \dots$는 차이가 일정하지 않으므로 등차수열이 아닙니다. 이런 수열은 비를 봐야 합니다.

등비수열 합 공식의 조건을 빼먹기

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

은 $r \ne 1$일 때만 바로 쓸 수 있습니다. $r=1$이면 분모가 $0$이 되므로 별도로 처리해야 합니다.

$n-1$을 빠뜨리기

일반항 공식에서 $a_n$은 첫째 항에서 한 번도 이동하지 않은 상태가 $n=1$이어야 합니다. 그래서 등차수열도 등비수열도 $n-1$이 들어갑니다.

수열 공식은 언제 쓰는가

수열 공식은 학교 시험에서는 물론, 일정한 증가나 반복 비율이 있는 상황을 설명할 때 자주 쓰입니다. 저축액이 매달 일정하게 늘어나는 경우는 등차수열과 비슷하게 볼 수 있고, 일정 비율로 증감하는 현상은 등비수열과 가깝게 모델링할 수 있습니다.

다만 실제 상황이 정확히 등차 또는 등비로 움직이는지는 조건을 봐야 합니다. 공식은 규칙이 맞을 때만 바로 적용할 수 있습니다.

수열 공식 풀이 순서

수열 문제는 보통 이 순서로 풀면 됩니다.

1. 차이가 일정한지, 비가 일정한지 확인합니다.
2. 구하려는 값이 $a_n$인지 $S_n$인지 확인합니다.
3. 등차수열이면 $d$, 등비수열이면 $r$를 구합니다.
4. 조건에 맞는 공식을 대입합니다.

다음으로 해 보면 좋은 연습

예제 수열 $5, 8, 11, 14, \dots$에서 $a_{20}$과 $S_{20}$을 직접 구해 보세요. 그다음 등비수열 $3, 6, 12, 24, \dots$에도 같은 질문을 적용해 보면, 일반항 공식과 합 공식이 언제 달라지는지 더 분명해집니다.