쌍곡선 - 방정식, 점근선과 성질

쌍곡선은 두 개의 열린 가지를 가진 곡선입니다. 좌표기하에서 쌍곡선을 가장 빠르게 알아보는 방법은 표준방정식에서 한 제곱항이 다른 제곱항에서 빼져 있다는 점입니다.

중심이 $(h, k)$이고 좌표축과 평행한 쌍곡선의 대표적인 표준형은 다음 두 가지입니다.

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

그리고

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

첫 번째는 좌우로 열립니다. 두 번째는 위아래로 열립니다.

빠르게 읽는 규칙은 이렇습니다. 중심은 $(h, k)$에서 읽고, 양수인 항이 열리는 방향을 알려 주며, 점근선은 가지가 가까워지는 방향을 보여 줍니다.

쌍곡선이란 무엇인가

기하적으로 쌍곡선은 두 고정점, 즉 초점까지의 거리의 차의 절댓값이 일정한 점들의 집합으로 정의할 수 있습니다.

이 정의는 그래프가 하나의 닫힌 곡선이 아니라 두 개의 가지를 가지는 이유를 설명해 줍니다. 하지만 대부분의 대수나 예비미적분 문제에서는 방정식에서 출발하는데, 그 편이 그래프의 특징을 훨씬 더 빠르게 읽을 수 있기 때문입니다.

쌍곡선의 방정식 읽는 법

방정식이

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

이라면, 좌표축과 평행한 쌍곡선에 대해 다음이 성립합니다.

• 중심: $(h, k)$
• 열리는 방향: 좌우
• 꼭짓점: $(h \pm a, k)$
• 점근선: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

방정식이

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

이라면:

• 중심: $(h, k)$
• 열리는 방향: 위아래
• 꼭짓점: $(h, k \pm a)$
• 점근선: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

이와 같은 좌표축과 평행한 표준형에서는 초점이 꼭짓점보다 중심에서 더 멀리 있고, 그 거리는 다음 관계를 만족합니다.

$$c^2 = a^2 + b^2$$

이 공식들은 표준형의 좌표축과 평행한 쌍곡선에만 사용하세요. 방정식에 추가 항이 있거나 회전되어 있다면, 이런 방식으로 그래프를 읽기 전에 더 많은 작업이 필요합니다.

점근선이 알려 주는 것

점근선은 가지의 방향을 안내하는 직선입니다. 임의로 붙는 부가 요소가 아닙니다. 그래프가 멀리서 어떤 방향으로 가는지를 알려 줍니다.

중심 근처에서는 곡선이 점근선에서 휘어져 나갑니다. 중심에서 멀어질수록 각 가지는 점근선에 점점 더 가까워집니다. 그래서 점근선은 쌍곡선을 정확하게 스케치하는 가장 빠른 방법 중 하나입니다.

예제: 방정식에서 그래프 읽기

다음을 보겠습니다.

$$\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$$

이 식은 가로 방향 표준형이므로, 쌍곡선은 좌우로 열립니다.

중심은 $(2, -1)$입니다. $(x - 2)$는 오른쪽으로 $2$, $(y + 1)$은 아래로 $1$만큼 평행이동했음을 뜻하기 때문입니다.

분모에서

$$a^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad a = 4$$

그리고

$$b^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad b = 3$$

따라서 꼭짓점은

$$(2 \pm 4, -1)$$

이고, 이는

$$(6, -1) \text{ and } (-2, -1)$$

를 줍니다.

점근선은 기울기 $\pm b/a = \pm 3/4$를 사용하고 중심을 지납니다.

$$y + 1 = \pm \frac{3}{4}(x - 2)$$

초점도 구하고 싶다면 $c^2 = a^2 + b^2$를 사용합니다.

$$c^2 = 16 + 9 = 25 \quad \Rightarrow \quad c = 5$$

따라서 초점은

$$(2 \pm 5, -1)$$

즉 $(7, -1)$과 $(-3, -1)$입니다.

이제 전체 스케치를 할 수 있습니다. 중심을 찍고, 꼭짓점을 표시하고, 중심을 지나는 점근선을 그린 다음, 그 직선들에 가까워지면서 중심에서 멀어지는 두 개의 가지를 그리면 됩니다.

쌍곡선에서 자주 하는 실수

1. 쌍곡선의 표준형에는 뺄셈이 있다는 점을 잊는 것. 제곱항이 더해져 있다면 그것은 쌍곡선이 아니라 타원입니다.
2. $a^2$와 $b^2$를 혼동하는 것. 이 표준형에서는 $a^2$가 양수인 항에 붙습니다.
3. 점근선의 기울기를 잘못 쓰는 것. 가로 쌍곡선에서는 기울기가 $\pm b/a$이고, 세로 쌍곡선에서는 $\pm a/b$입니다.
4. 중심의 부호를 잘못 읽는 것. $(x + 2)^2$ 같은 항은 중심의 $x$좌표가 $-2$라는 뜻입니다.

쌍곡선은 어디에 쓰일까

쌍곡선은 원뿔곡선, 해석기하, 좌표 기반 모델링에서 자주 등장합니다. 또한 두 고정점까지의 거리 차가 일정하다는 조건으로 정의되는 문제에서도 나타납니다.

대부분의 학생에게 실용적인 핵심은 더 단순합니다. 중심, 열리는 방향, 꼭짓점, 점근선을 알아낼 수 있으면 표준형의 그래프를 빠르게 그릴 수 있고, 시험에서 자주 나오는 실수를 피할 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음을 스케치해 보세요.

$$\frac{(y - 3)^2}{25} - \frac{(x + 1)^2}{4} = 1$$

먼저 중심을 찾고 가지가 위아래로 열리는지, 좌우로 열리는지 판단해 보세요. 그다음 꼭짓점과 점근선을 써 보세요. 한 단계 더 해 보고 싶다면 다른 원뿔곡선을 살펴보며 쌍곡선이 타원과 어떻게 다른지도 비교해 보세요.