원의 표준 방정식은 무엇인가요?

중심이 $(h, k)$이고 반지름이 $r$인 원의 표준 방정식은 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$입니다.

왜 중심과 식의 부호가 반대로 보이나요?

중심은 $(h, k)$이지만, 식에서는 그 중심으로부터의 가로거리와 세로거리를 나타내기 위해 $(x - h)$와 $(y - k)$를 사용합니다.

아니요. 반지름은 거리이므로 음수가 될 수 없습니다. 방정식에서 실제 점이 존재하려면 $r^2$는 최소 $0$이어야 합니다.

원의 방정식은 한 중심점에서 일정한 거리에 있는 점들이 무엇인지 알려줍니다. 원의 중심이 $(h, k)$ 이고 반지름이 $r$ 이면, 표준 방정식은

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

입니다.

이 식이 성립하는 이유는 원 위의 모든 점 $(x, y)$ 가 중심에서 정확히 $r$ 만큼 떨어져 있기 때문입니다. 중심이 원점에 있으면 식은

x^2 + y^2 = r^2

가 됩니다.

이것이 좌표기하에서 원을 가장 빠르게 알아보는 방법입니다.

식 $x - h$ 는 중심으로부터의 가로거리를, $y - k$ 는 세로거리를 나타냅니다. 이 거리들을 제곱해서 더하면 거리 공식과 같은 형태가 됩니다:

\text{distance}^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2

원 위의 점이라면 이 제곱된 거리는 반드시 $r^2$ 와 같아야 합니다. 따라서 이 방정식은 사실상 “여기의 모든 점은 중심에서 같은 거리를 유지한다”는 뜻을 간단히 나타낸 것입니다.

중심을 하나의 고정점이라고 생각해 보세요. 원은 그 고정점에서 정확히 한 반지름만큼 떨어진 모든 점의 집합입니다. 이 방정식은 한 점만 설명하는 것이 아닙니다. 그런 점들이 모두 모여 만든 경계를 설명합니다.

그래서 반지름이 매우 중요합니다. $r$ 이 바뀌면 중심은 그대로지만 원은 커지거나 작아집니다.

중심이 $(3, -2)$ 이고 반지름이 $5$ 인 원의 방정식을 써 봅시다.

먼저 표준형을 씁니다:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

여기에 $h = 3$ , $k = -2$ , $r = 5$ 를 대입하면

(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2

가 됩니다.

정리하면

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25

입니다.

이것이 원의 방정식입니다.

원 위에 있어야 하는 점으로 간단히 검산할 수도 있습니다. 점 $(8, -2)$ 는 중심에서 오른쪽으로 $5$ 만큼 떨어져 있으므로 식을 만족해야 합니다:

(8 - 3)^2 + (-2 + 2)^2 = 5^2 + 0 = 25

실제로 성립하므로, 이 방정식은 중심과 반지름에 맞는 식입니다.

부호만 보고 중심을 바로 읽는 것. $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ 의 중심은 $(3, -2)$ 이지 $(3, 2)$ 가 아닙니다.
반지름을 제곱하는 것을 잊는 것. 반지름이 $5$ 이면 오른쪽은 $5$ 가 아니라 $25$ 입니다.
지름을 반지름처럼 사용하는 것. 지름이 주어졌다면 먼저 $2$ 로 나누어야 합니다.
$r^2$ 가 음수인데도 실제 원이 있다고 생각하는 것. $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = -9$ 같은 식은 실제 점을 가지지 않습니다.

$r > 0$ 이면 이 방정식은 실제 원을 나타냅니다.

$r = 0$ 이면 이 방정식은 중심 그 자체인 한 점만 나타냅니다.

$r^2 < 0$ 이면 실제 원은 존재하지 않습니다. 거리의 제곱은 음수가 될 수 없기 때문입니다.

원의 방정식은 좌표기하, 해석기하, 그리고 예비미적분에서 등장합니다. 원을 그래프로 나타내고, 어떤 점이 원 위에 있는지 확인하고, 고정된 위치로부터의 거리를 모델링하고, 더 복잡한 식을 알아보기 쉬운 원의 형태로 바꾸는 데 사용됩니다.

또한 거리 공식과도 자연스럽게 연결되고, 완전제곱식 만들기와도 이어집니다. 완전제곱식 만들기는 긴 식을 원의 표준형으로 바꿀 때 자주 쓰이는 방법입니다.

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 를 볼 때는 빠르게 두 가지를 확인해 보세요:

이 두 가지만 확인해도 대부분의 실수를 잡을 수 있습니다.

중심이 $(-4, 1)$ 이고 반지름이 $3$ 인 원의 방정식을 직접 써 보세요. 그런 다음 점 $(-1, 1)$ 이 그 원 위에 있는지도 확인해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면, 더 긴 식에서 시작해 그것을 원의 표준형으로 고쳐 써 보는 것도 좋습니다.

문제를 올리면 검증된 단계별 풀이를 몇 초 만에 받을 수 있습니다.