벡터 — 크기, 방향, 벡터 덧셈과 내적

벡터는 크기와 방향을 동시에 나타냅니다. 좌표로 쓰면 $v = (3, 4)$ 또는 $v = (2, -1, 5)$ 같은 벡터는 각 축 방향으로 얼마나 이동하는지를 알려 줍니다. 이런 성분을 이용해 크기를 구하고, 벡터를 더하고, 내적을 계산할 수 있습니다.

한 가지만 기억해야 한다면 이것을 기억하세요. 벡터는 단순한 길이가 아닙니다. 방향도 양의 일부이므로, 계산에서도 방향이 보존되어야 합니다.

좌표에서 벡터가 의미하는 것

스칼라는 크기만 가진 양입니다. 온도, 질량, 시간은 대표적인 스칼라의 예입니다. 벡터는 크기와 방향을 함께 가집니다. 변위, 속도, 힘은 대표적인 벡터의 예입니다.

기초 수학과 물리에서는 벡터를 보통 성분의 순서쌍 또는 순서열로 나타냅니다. $2$차원에서는

$$v = (v_1, v_2)$$

이고, $3$차원에서는

$$v = (v_1, v_2, v_3).$$

성분의 개수는 중요합니다. 벡터가 같은 차원에 있을 때만 직접 더할 수 있고, 표준 내적도 계산할 수 있습니다.

벡터의 크기를 구하는 방법

벡터의 크기는 그 길이입니다. 보통의 유클리드 공간에서 $v = (v_1, v_2)$의 크기는

$$|v| = \sqrt\{v_1^2 + v_2^2\}$$

이고, $v = (v_1, v_2, v_3)$의 크기는

$$|v| = \sqrt\{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2\}.$$

이것은 피타고라스 정리의 벡터 버전이라고 볼 수 있습니다. 크기는 벡터가 얼마나 긴지를 알려 주고, 성분의 부호와 상대적인 크기는 방향을 결정하는 데 도움을 줍니다.

한 가지 주의할 점이 있습니다. 영벡터의 크기는 $0$이지만, 하나의 고유한 방향을 가진다고 볼 수는 없습니다.

벡터 덧셈은 어떻게 작동할까

벡터를 더할 때는 대응하는 성분끼리 더합니다.

$$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2).$$

결과는 또 다른 벡터입니다. 이것이 중요한 이유는 합도 여전히 크기와 방향을 모두 가지기 때문입니다.

그래서 보통은 크기만 따로 더할 수 없습니다. 두 벡터가 서로 다른 방향을 가리키면, 합쳐진 효과는 숫자의 크기만이 아니라 두 방향 모두에 따라 달라집니다.

내적이 알려 주는 것

내적은 같은 차원의 두 벡터를 받아 스칼라를 반환합니다.

$$a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n.$$

이 값은 두 벡터가 얼마나 같은 방향으로 정렬되어 있는지를 알려 줍니다. 보통의 유클리드 공간에서는 다음도 성립합니다.

$$a \cdot b = |a||b|\cos(\theta),$$

여기서 $\theta$는 두 벡터 사이의 각입니다.

이 공식은 빠른 해석을 가능하게 합니다.

• $a \cdot b > 0$이면 각은 예각입니다.
• $a \cdot b = 0$이면 영벡터가 아닌 두 벡터는 서로 수직입니다.
• $a \cdot b < 0$이면 각은 둔각입니다.

이 각도 해석은 보통의 유클리드 내적에 의존합니다. 이것이 기초 수학과 물리에서 사용하는 표준적인 형태입니다.

예제: 크기, 덧셈, 내적을 함께 보기

다음을 두겠습니다.

$$a = (3, 4), \qquad b = (4, -3).$$

먼저 크기부터 구해 봅시다. $a$에 대해,

$$|a| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5.$$

$b$에 대해,

$$|b| = \sqrt\{4^2 + (-3)^2\} = \sqrt\{25\} = 5.$$

따라서 두 벡터의 크기는 같지만, 방향은 서로 다릅니다.

이제 더해 봅시다.

$$a + b = (3 + 4,\ 4 + (-3)) = (7, 1).$$

합은 새로운 벡터이지 숫자 $10$이 아닙니다. 그 크기는

$$|a + b| = \sqrt\{7^2 + 1^2\} = \sqrt\{50\}.$$

이제 내적을 계산합니다.

$$a \cdot b = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0.$$

내적이 $0$이므로, 이 영이 아닌 두 벡터는 보통의 유클리드 평면에서 서로 수직입니다. 이 한 가지 예제만으로도 핵심 패턴을 분명히 볼 수 있습니다.

• 크기는 벡터의 크기를 측정한다
• 덧셈은 새로운 벡터를 만든다
• 내적은 정렬 정도를 측정한다

벡터에서 자주 하는 실수

벡터 대신 크기만 더하기

$|a| + |b|$를 구하는 것은 $|a + b|$를 구하는 것과 같지 않습니다. 두 벡터가 같은 방향일 때가 아니면 서로 다른 양입니다.

같은 차원 조건을 무시하기

$2$차원 벡터와 $3$차원 벡터는 직접 더할 수 없습니다. 둘 사이의 표준 내적도 계산할 수 없습니다.

내적과 수에 의한 곱을 혼동하기

내적의 결과는 하나의 스칼라입니다. 또 다른 벡터가 나오는 것이 아닙니다.

맞는 조건 없이 각도 공식을 사용하기

위의 크기 공식과 내적의 기하학적 해석은 보통의 유클리드 공간을 가정합니다. 대부분의 입문 과정에서는 이것이 표준이지만, 여전히 하나의 조건이라는 점은 기억해야 합니다.

벡터는 어디에 쓰일까

벡터는 방향이 중요한 모든 곳에 등장합니다. 기하에서는 점, 직선, 사영, 각을 설명하는 데 도움이 됩니다. 물리에서는 변위, 속도, 가속도, 힘을 나타내는 데 사용됩니다. 공학과 그래픽스에서는 운동, 방향, 공간에서의 변화를 표현하는 데 유용합니다.

벡터를 잘 활용하기 위해 고급 선형대수를 꼭 알아야 하는 것은 아닙니다. 많은 문제에서는 성분을 정확히 쓰고, 알맞은 연산을 적용하고, 결과를 해석하는 것이 전부입니다.

비슷한 벡터 문제를 풀어 보세요

예제를 $a = (2, 1)$, $b = (1, 2)$로 바꿔 보세요. 각 벡터의 크기를 구하고, 둘을 더하고, 내적을 계산해 보세요. 그런 다음 두 벡터 사이의 각이 예각인지, 직각인지, 둔각인지 판단해 보세요.

빠르게 확인하고 싶다면 먼저 같은 벡터쌍을 손으로 풀고, 그다음 계산기나 풀이 도구와 비교해 보세요. 그러면 부호 실수나 성분을 헷갈린 오류를 훨씬 쉽게 찾을 수 있습니다.