토크(돌림힘) — 공식과 예제

토크는 힘이 어떤 받침점이나 축을 기준으로 물체를 회전시키려는 효과입니다. 기초 물리학에서는 하나의 힘이 만드는 토크의 크기를 다음과 같이 씁니다.

$$\tau = rF\sin\theta$$

여기서 $r$은 받침점에서 힘이 작용하는 점까지의 거리, $F$는 힘의 크기, $\theta$는 반지름 방향 선과 힘 사이의 각도입니다. 핵심은 힘의 수직 성분만 회전을 만든다는 점입니다. 힘이 받침점을 향하거나 받침점에서 멀어지는 방향으로 직접 작용하면 $\theta = 0$이고 토크는 $0$입니다.

토크를 쉬운 말로 설명하면

토크는 밀거나 당기는 힘의 회전 버전이라고 볼 수 있습니다. 토크가 클수록 물체를 더 강하게 돌리려는 경향이 큽니다.

토크는 다음과 같은 경우 더 커집니다.

1. 힘이 더 클 때
2. 받침점에서 더 멀리 떨어진 곳에 힘을 가할 때
3. 힘이 반지름 방향에 더 가깝게 수직으로 작용할 때

그래서 문은 경첩 근처보다 손잡이 근처를 밀 때 더 쉽게 열립니다. 같은 힘이라도 지레팔이 길수록 회전시키는 효과가 더 커집니다.

토크 공식: 각 부분의 의미

다음 식

$$\tau = rF\sin\theta$$

은 세 가지 아이디어로 읽을 수 있습니다.

• $r$: 받침점에서 얼마나 떨어진 곳에 힘이 작용하는가
• $F$: 힘의 크기가 얼마나 큰가
• $\sin\theta$: 그 힘 중에서 반지름에 수직인 성분이 얼마나 되는가

또 다른 유용한 형태는

$$\tau = rF_{\perp}$$

입니다. 여기서 $F_{\perp}$는 반지름에 수직인 힘의 성분입니다. 문제를 빠르게 판단할 때 이 형태가 더 편한 경우가 많습니다.

SI 단위계에서 토크의 단위는 뉴턴미터이며, $\mathrm{N \cdot m}$로 씁니다. 차원은 에너지와 같지만 같은 물리량은 아닙니다. 토크는 회전 효과를 나타내며, 저장되거나 전달되는 에너지를 뜻하지 않습니다.

풀이 예제: 문에 작용하는 토크

문에 $25\ \mathrm{N}$의 힘을 가한다고 합시다. 힘이 작용하는 점은 경첩에서 $0.80\ \mathrm{m}$ 떨어져 있습니다. 경첩이 받침점입니다.

문에 수직으로 밀면 $\theta = 90^\circ$이고 $\sin 90^\circ = 1$입니다. 토크의 크기는

$$\tau = rF\sin\theta = (0.80)(25)(1) = 20\ \mathrm{N \cdot m}$$

이므로 문에는 $20\ \mathrm{N \cdot m}$의 토크가 작용합니다.

이제 힘의 크기와 거리는 그대로 두고, 반지름과 $30^\circ$를 이루는 방향으로 민다고 합시다. 그러면

$$\tau = (0.80)(25)\sin 30^\circ = (0.80)(25)(0.5) = 10\ \mathrm{N \cdot m}$$

이 됩니다.

힘의 크기는 바뀌지 않았지만, 토크는 더 작아졌습니다. 힘의 수직 성분이 줄어들었기 때문입니다. 많은 학생이 놓치는 핵심은 바로 이것입니다. 힘 전체가 항상 회전에 기여하는 것은 아닙니다.

토크가 0이 되는 경우

다음 두 경우에는 토크가 0입니다.

1. 힘이 받침점에서 작용하여 $r = 0$인 경우
2. 힘이 반지름 방향으로 작용하여 $\theta = 0$ 또는 $180^\circ$인 경우

두 경우 모두 힘 자체가 커도 회전을 위한 지레팔이 없습니다.

시계 방향 토크와 반시계 방향 토크

많은 기초 문제에서는 회전 방향에 따라 토크에 부호를 붙입니다. 흔히 쓰는 약속은 다음과 같습니다.

1. 반시계 방향 토크는 양수
2. 시계 방향 토크는 음수

이 부호 선택은 하나의 약속일 뿐, 별도의 물리 법칙은 아닙니다. 수업이나 문제에서 정한 기준을 따르되, 끝까지 일관되게 사용해야 합니다.

토크 공식에서 자주 하는 실수

$F$ 대신 수직 성분을 써야 하는데 그대로 쓰는 경우

힘이 비스듬히 작용하면 보통 그냥 $rF$를 쓸 수 없습니다. 수직 성분이 필요하므로 $\sin\theta$ 항이 중요합니다.

거리를 잘못된 점에서 재는 경우

거리는 반드시 받침점이나 회전축에서부터 재야 합니다. 받침점이 문의 경첩이라면, 경첩에서 힘이 작용하는 점까지의 거리를 재야 합니다.

받침점을 지나는 힘은 토크가 0이라는 점을 잊는 경우

힘의 작용선이 받침점을 지나면 지레팔이 0이므로, 힘이 아무리 커도 토크는 0입니다.

토크와 힘을 혼동하는 경우

힘은 병진운동을 만들 수 있고, 토크는 회전을 만듭니다. 힘이 매우 커도 받침점에 아주 가깝게 작용하거나 반지름 방향으로 작용하면 토크는 크지 않을 수 있습니다.

토크는 어디에 쓰일까

토크는 회전이 중요한 모든 상황에서 등장합니다. 대표적인 예는 다음과 같습니다.

1. 문 열기
2. 렌치와 드라이버 사용
3. 시소와 보의 평형 맞추기
4. 모터, 바퀴, 도르래 분석
5. 회전 운동역학과 정적 평형 문제 풀이

정적 평형에서는 선택한 받침점에 대한 알짜토크가 0이어야 합니다. 회전 운동역학에서는 알짜토크가 회전 운동을 변화시키는 원인입니다.

비슷한 문제를 풀어보세요

길이가 $0.30\ \mathrm{m}$인 렌치에 수직으로 $40\ \mathrm{N}$의 힘을 가한다고 합시다. 토크를 구한 뒤, 같은 힘을 $45^\circ$ 방향으로 가했을 때의 토크와 비교해 보세요. 이렇게 간단히 비교해 보면 각도의 역할이 훨씬 더 잘 보입니다.