벡터 내적 — 공식, 기하학적 의미와 예제

벡터 내적은 같은 차원의 두 벡터를 곱해 하나의 수를 반환합니다. 좌표로 쓰면,

$$u = (u_1, u_2, \dots, u_n), \qquad v = (v_1, v_2, \dots, v_n),$$ $$u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n.$$

일반적인 유클리드 공간에서는 이 값이 기하학적으로도 같은 의미를 가집니다:

$$u \cdot v = |u||v|\cos\theta,$$

여기서 $\theta$는 두 벡터 사이의 각입니다. 즉, 내적은 단순히 계산하는 공식이 아닙니다. 두 벡터가 같은 방향을 얼마나 강하게 향하는지도 알려줍니다.

벡터 내적이 알려주는 것

내적은 결과가 또 다른 벡터가 아니라 스칼라이기 때문에 스칼라곱이라고도 합니다.

유클리드 공간에서는 부호만 봐도 각에 대한 빠른 판단이 가능합니다. 내적이 양수이면 예각, 내적이 0이면 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때 서로 수직, 내적이 음수이면 둔각입니다.

특히 중요한 경우는 벡터를 자기 자신과 내적하는 경우입니다:

$$u \cdot u = u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2.$$

유클리드 공간에서는 이것이 $|u|^2$와 같으므로 음수가 될 수 없습니다. 그래서 $u \cdot u$는 제곱근을 취하지 않고 길이와 관련된 값을 구할 때 자주 쓰입니다.

벡터 내적 계산 방법

좌표 공식을 세 단계로 사용하면 됩니다:

1. 벡터를 같은 순서로 쓰고 차원이 같은지 확인합니다.
2. 대응하는 성분끼리 곱합니다.
3. 그 결과를 모두 더합니다.

성분의 순서를 바꾸지 않습니다. 첫 번째 성분은 첫 번째와, 두 번째는 두 번째와 대응시키고, 이런 식으로 계속합니다.

벡터 내적 계산 예제

다음 두 벡터의 내적을 구해 봅시다.

$$u = (2, -1, 3), \qquad v = (4, 5, 1).$$

대응하는 성분끼리 곱하면:

$$2 \cdot 4 = 8, \qquad (-1) \cdot 5 = -5, \qquad 3 \cdot 1 = 3.$$

이제 더하면:

$$u \cdot v = 8 + (-5) + 3 = 6.$$

따라서 내적은 $6$입니다.

이 $6$은 무엇을 뜻할까요? 유클리드 공간에서는 결과가 양수이므로 두 벡터 사이의 각이 예각이라는 뜻입니다. 그렇다고 두 벡터가 같거나 평행하다는 뜻은 아닙니다. 단지 방향의 겹침이 양수라는 것만 알려줍니다.

벡터 내적의 기하학적 의미

유클리드 기하에서 내적은 한 벡터가 다른 벡터의 방향으로 얼마나 향하는지를 측정합니다. 두 벡터가 거의 같은 방향을 향하면 내적은 크고 양수입니다. 직각을 이루면 내적은 $0$입니다. 대부분 반대 방향을 향하면 내적은 음수입니다.

이것은 다음 공식에서 나옵니다.

$$u \cdot v = |u||v|\cos\theta$$

왜냐하면 코사인 항이 부호와 크기를 결정하기 때문입니다:

• $\cos\theta > 0$이면 예각이므로 내적은 양수입니다.
• $\cos\theta = 0$이면 직각이므로 내적은 $0$입니다.
• $\cos\theta < 0$이면 둔각이므로 내적은 음수입니다.

이러한 각도 해석은 표준 유클리드 내적에 의존합니다. 다른 내적을 사용하고 있다면 기하학적 의미가 달라질 수 있으므로, 익숙한 각도 그림을 그대로 적용할 수는 없습니다.

벡터 내적에서 자주 하는 실수

먼저 차원을 확인하지 않는 경우

표준 내적은 2차원 벡터와 3차원 벡터 사이에서는 정의되지 않습니다. 두 벡터는 같은 개수의 성분을 가져야 합니다.

내적과 성분별 곱셈을 혼동하는 경우

$(2,3)$과 $(4,5)$의 내적은

$$2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 23,$$

이며, $(8,15)$가 아닙니다.

결과가 양수라는 이유만으로 평행하다고 생각하는 경우

내적이 양수라는 것은 유클리드 공간에서 각이 예각이라는 뜻일 뿐입니다. 서로 다른 많은 벡터 쌍이 양의 내적을 가질 수 있습니다.

"$u \cdot v = 0$이면 수직"이라는 말의 조건을 잊는 경우

이 명제는 표준 유클리드 공간에서 참입니다. 대부분의 입문 문제는 이 환경을 사용하지만, 그 조건 자체는 여전히 중요합니다.

벡터 내적은 어디에 쓰일까

내적은 방향이 중요하지만 최종 답은 하나의 수여야 할 때 등장합니다.

기하학에서는 직교 여부를 판별하고 각을 계산하는 데 도움이 됩니다. 물리학에서는 일(work) 같은 공식에 나타나며, 이때는 힘의 운동 방향 성분만 중요합니다. 선형대수와 응용수학에서는 사영, 최소제곱 아이디어, 유사도 계산에도 자주 등장합니다.

비슷한 벡터 내적 문제를 풀어보세요

다음을 계산해 보세요.

$$u = (1, 2, -2), \qquad v = (3, -1, 4).$$

먼저 $u \cdot v$를 구하고, 그다음 $u \cdot u$를 구해 보세요. 두 번째 값은 벡터를 자기 자신과 내적할 때 왜 두 개의 서로 다른 벡터를 내적하는 경우와 다르게 보이는지 이해하는 좋은 방법입니다.