不等辺三角形の性質

不等辺三角形とは、3辺の長さがすべて異なる三角形です。ユークリッド幾何では、これは3つの内角もすべて異なることを意味します。3辺の長さがすべて異なり、さらに三角形の成立条件を満たしていれば、その三角形は不等辺三角形です。

多くの生徒にとって必要なのは、この基本的な考え方です。不等辺三角形であるということは、等しい辺による対称性がないということなので、底角が等しいといった二等辺三角形の近道は使えません。

重要な不等辺三角形の性質

不等辺三角形では、次のことが成り立ちます。

1. 3辺の長さはすべて異なる。
2. 3つの内角はすべて異なる。
3. 最も長い辺の向かいに最大の角がある。
4. 最も短い辺の向かいに最小の角がある。
5. 鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれにもなりうる。

最後の点は重要です。「不等辺」は辺の長さについての分類であり、角の種類についての分類ではありません。

なぜ角はすべて異なるのか

どんな三角形でも、等しい辺の向かいの角は等しくなります。逆に、等しい角の向かいの辺も等しくなります。

したがって、等しい辺が1組もなければ、等しい角も1組もありません。これを知るために、ふつうは角度を実際に計算する必要はありません。辺の長さだけで決まります。

辺の長さが 4、5、6 の例題

辺の長さが $4$、$5$、$6$ の三角形を考えます。

まず、それらの長さで三角形が作れるかを確認します。

$$4 + 5 > 6, \quad 4 + 6 > 5, \quad 5 + 6 > 4$$

したがって、この三角形は成立します。3辺の長さがすべて異なるので、不等辺三角形です。

ここから、角について役立つ情報をすぐに読み取れます。

1. 最大の角は、長さ $6$ の辺の向かいにある。
2. 最小の角は、長さ $4$ の辺の向かいにある。
3. 残りの角は、長さ $5$ の辺の向かいにある。

幾何の問題では、すべての角度を正確に求めなくても、これだけで十分なことがよくあります。

不等辺三角形を見分けるときのよくある間違い

1. 先に三角形の成立条件を確認し忘れる。
2. 「正三角形でない」ことを「不等辺三角形」と考えてしまう。二等辺三角形は正三角形ではありませんが、不等辺三角形でもありません。
3. 不等辺三角形は直角三角形になれないと思い込む。実際にはなれます。
4. 辺による分類と角による分類を混同する。「不等辺」は辺が等しいかどうかだけに関する言葉です。

不等辺三角形の性質を使う場面

これらの性質は、三角形の分類が次の解法に影響するときに使います。幾何の問題では、対称性を使った議論ができるかどうかを判断する場面がよくあります。

三角形が不等辺三角形なら、特別な対称性の近道ではなく、一般的な道具を使うことが多くなります。問題によっては、正弦定理、余弦定理、または面積の公式を使うことになります。

クイックチェック

辺の長さが $7$、$7$、$10$ の三角形は、2辺が等しいので不等辺三角形ではありません。辺の長さが $5$、$7$、$9$ の三角形は、3辺がすべて異なり、三角形の成立条件も満たすので不等辺三角形です。

似た問題に挑戦

辺の長さが $5$、$7$、$9$ の場合を考えてみましょう。三角形の成立条件を確認し、不等辺三角形かどうかを判断してから、向かい合う辺を見て角を小さい順に並べてください。そのあと別の幾何の例も見たいなら、二等辺三角形と比べて、どの対称性の近道が使えなくなるかを確かめてみましょう。