分数の割り算 — ひっくり返してかける方法

分数の割り算は、最初の分数はそのままにして、割る数をひっくり返してかけます。このやり方は、割る数が 0 でない限り使えます。

たとえば、

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3}{2}$$

この場合、答えは大きくなります。$\frac{1}{2}$ で割るというのは、$\frac{3}{4}$ の中に半分がいくつ入るかを考えることだからです。

一般に、

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

ただし、$b \ne 0$、$d \ne 0$、そして $\frac{c}{d} \ne 0$ です。

分数の割り算のやり方

ひっくり返した分数を 逆数 といいます。$\frac{2}{3}$ の逆数は $\frac{3}{2}$ です。これは分子と分母が入れ替わるからです。

次の手順で進めます。

1. 最初の分数はそのままにします。
2. 2つ目の分数、つまり割る数をひっくり返します。
3. そのままかけます。
4. 答えを簡単にします。

なぜひっくり返してかけるのか

ある数で割ることは、その数の乗法逆元をかけることと同じです。0 でない分数 $\frac{c}{d}$ の乗法逆元は $\frac{d}{c}$ です。なぜなら、

$$\frac{c}{d} \times \frac{d}{c} = 1$$

となるからです。したがって、$\frac{c}{d}$ で割ることは $\frac{d}{c}$ をかけることと同じ結果になります。これはただ覚えるためのコツではなく、このルールが成り立つ理由です。

計算例: $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$

まず、

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$$

最初の分数はそのままにして、割る数をひっくり返します。

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1}$$

かけると、

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4}$$

これを簡単にすると、

$$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

したがって、

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

これは言葉で考えても自然です。 「4分の3の中に2分の1はいくつ入るか」を考えると、答えは $1\frac{1}{2}$ 個分です。

分数で割ると答えが大きくなることがある理由

割り算をすると数は小さくなると思う人が多いです。これは $1$ より大きい正の数で割るときには正しいですが、$1$ より小さい正の分数で割るときには当てはまりません。

$\frac{1}{2}$ で割るときは、「半分がいくつあるか」を数えています。半分は 1 個分より小さいので、もとの量の中に 1 個より多く入ることがあります。だから $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$ は $\frac{3}{4}$ より大きくなります。

分数の割り算でよくあるミス

ひっくり返す分数を間違える

ひっくり返すのは 2つ目 の分数、つまり割る数だけです。最初の分数はそのままです。

0 の条件を忘れる

$0$ で割ることはできないので、割る数は 0 の分数であってはいけません。たとえば、$\frac{5}{6} \div 0$ は定義されません。

分子どうし、分母どうしを割ってしまう

それは分数の割り算のルールではありません。割る数をひっくり返したあとで、分子どうし、分母どうしをかけます。

整数を分数に直し忘れる

整数が出てきたら、分母を $1$ にして書きます。たとえば、$2 \div \frac{2}{3}$ は $\frac{2}{1} \div \frac{2}{3}$ を意味します。

簡単な約分を見落とす

先にかけて最後に約分してもよいですが、かける前に共通因数を消したほうが楽なこともあります。計算が正しければ、どちらの方法でもかまいません。

分数の割り算を使う場面

分数の割り算は、測定、レシピ、単位量あたりの比較、拡大・縮小の問題などで出てきます。1つ分の大きさがわかっていて、それが全体の中にいくつ入るかを知りたいときは、分数の割り算が適切なモデルになることが多いです。

たとえば、1回分のレシピに牛乳を $\frac{2}{3}$ カップ使い、手元に $2$ カップあるとします。このとき「何回分作れるか」という問題は、

$$2 \div \frac{2}{3}$$

となります。片方が整数でも、これは分数の割り算です。

次に進む前の簡単なチェック

計算したあとで、答えの大きさが妥当かどうかを確認しましょう。

• $1$ より小さい正の分数で割るなら、答えは大きくなるはずです。
• $1$ より大きい正の数で割るなら、答えは小さくなるはずです。

これは計算の代わりにはなりませんが、ひっくり返す分数のミスや符号ミスに気づくのに役立ちます。

似た問題に挑戦してみよう

$\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$ をやってみて、計算する前に答えが $\frac{5}{6}$ より小さいか大きいかを考えてみましょう。手順を別の例で確認したいなら、GPAI Solver で似た問題を解いてみてください。