トルク（力のモーメント）— 公式と例題

トルクは、支点や軸のまわりで物体を回転させようとする力のはたらきです。初学者向けの物理では、1つの力によるトルクの大きさは

$$\tau = rF\sin\theta$$

で表されます。ここで、$r$ は支点から力が加わる点までの距離、$F$ は力の大きさ、$\theta$ は半径方向の線と力のなす角です。大事なのは、回転を生むのは力のうち半径に垂直な成分だけだということです。力が支点に向かって、または支点から遠ざかる向きにそのまま働くなら、$\theta = 0$ となり、トルクは $0$ です。

トルクとは何かをやさしく言うと

トルクは、押す力の「回転版」と考えるとわかりやすいです。トルクが大きいほど、物体を回そうとするはたらきが強くなります。

トルクが大きくなるのは、次のようなときです。

1. 力が大きい
2. 支点からの距離が大きい
3. 力が半径により垂直に近い向きで加わる

そのため、ドアは蝶番の近くを押すより、取っ手の近くを押すほうが開けやすくなります。同じ力でも、てこの腕が長いほど回転させる効果が大きくなるからです。

トルクの公式：各部分の意味

$$\tau = rF\sin\theta$$

は、次の3つの考え方に分けて読むことができます。

• $r$：支点からどれだけ離れた場所で力が加わるか
• $F$：力の大きさがどれくらいか
• $\sin\theta$：その力のうち、半径に垂直な成分がどれだけあるか

もう1つ便利な形は

$$\tau = rF_{\perp}$$

です。ここで $F_{\perp}$ は、半径に垂直な力の成分です。問題を考えるときには、こちらの形のほうが速く判断できることもよくあります。

SI単位系では、トルクの単位はニュートンメートルで、$\mathrm{N \cdot m}$ と書きます。これはエネルギーと同じ次元をもちますが、同じ物理量ではありません。トルクは回転させるはたらきを表し、蓄えられたり移動したりするエネルギーを表すものではありません。

例題：ドアに働くトルク

蝶番から $0.80\ \mathrm{m}$ の位置を、$25\ \mathrm{N}$ の力で押すとします。蝶番が支点です。

ドアに垂直に押すなら、$\theta = 90^\circ$ であり、$\sin 90^\circ = 1$ です。このときトルクの大きさは

$$\tau = rF\sin\theta = (0.80)(25)(1) = 20\ \mathrm{N \cdot m}$$

となります。したがって、ドアには $20\ \mathrm{N \cdot m}$ のトルクが働きます。

次に、力の大きさも距離も同じままで、半径に対して $30^\circ$ の角度で押すとします。このとき

$$\tau = (0.80)(25)\sin 30^\circ = (0.80)(25)(0.5) = 10\ \mathrm{N \cdot m}$$

となります。力そのものは変わっていませんが、トルクは小さくなります。これは、力のうち垂直な成分が小さくなるからです。ここは多くの学生が見落としやすい点で、力の大きさ全部がいつも回転に効くわけではありません。

トルクが0になるとき

トルクは、次のどちらかの場合に 0 になります。

1. 力が支点に加わるとき、つまり $r = 0$
2. 力が半径方向に沿って働くとき、つまり $\theta = 0$ または $180^\circ$

どちらの場合も、力そのものが大きくても、回転のための腕の長さがないので回転は生じません。

時計回りと反時計回りのトルク

初学者向けの問題では、回転方向によってトルクに符号をつけることがあります。よく使われる約束は次の通りです。

1. 反時計回りのトルクを正
2. 時計回りのトルクを負

この符号の決め方は約束であって、別の物理法則ではありません。授業や問題で指定された約束に従い、一貫して使うことが大切です。

トルクの公式でよくあるミス

$F$ をそのまま使ってしまい、垂直成分を使わない

力が斜めに加わっているときは、ふつう単に $rF$ とはできません。半径に垂直な成分が必要なので、$\sin\theta$ の因子が重要になります。

距離を間違った点から測ってしまう

距離は必ず支点または回転軸から測らなければなりません。支点がドアの蝶番なら、蝶番から力が加わる点までを測ります。

支点を通る力の作用線ではトルクが0になることを忘れる

力の作用線が支点を通るなら、てこの腕は 0 です。したがって、力そのものが大きくてもトルクは 0 になります。

トルクと力を混同する

力は並進運動を起こし、トルクは回転運動を起こします。力が大きくても、支点のすぐ近くで加わったり、半径方向に沿っていたりすると、トルクは大きくなりません。

トルクはどこで使うか

トルクは、回転が関わるあらゆる場面で現れます。代表的な例は次の通りです。

1. ドアを開ける
2. レンチやドライバーを使う
3. シーソーや梁のつり合いを考える
4. モーター、車輪、滑車を解析する
5. 回転運動や静力学のつり合いの問題を解く

静力学的平衡では、選んだ支点まわりの合トルクは 0 でなければなりません。回転の運動では、合トルクが回転運動の変化を生みます。

類題に挑戦してみよう

長さ $0.30\ \mathrm{m}$ のレンチに、垂直に $40\ \mathrm{N}$ の力を加えるとします。トルクを求め、そのあと同じ力を $45^\circ$ で加えた場合のトルクと比べてみましょう。この簡単な比較をすると、角度が果たす役割がずっと見えやすくなります。