Divergenza e rotore

La divergenza e il rotore descrivono due diverse caratteristiche locali di un campo vettoriale. La divergenza misura se il campo si sta espandendo o comprimendo vicino a un punto, mentre il rotore misura se tende a far ruotare un piccolo oggetto.

Se devi ricordare un solo contrasto, ricorda questo: la divergenza riguarda il flusso uscente locale, e il rotore riguarda la rotazione locale.

La divergenza misura il flusso uscente o entrante locale

Per un campo vettoriale 3D

$$\mathbf{F} = (P, Q, R),$$

la divergenza è

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.$$

Questa somma il tasso di variazione di ogni componente nella propria direzione. Se il risultato è positivo in un punto, il campo lì si comporta localmente più come un flusso verso l'esterno. Se è negativo, il campo lì si comporta localmente più come un flusso verso l'interno.

Questa interpretazione in termini di flusso è più utile quando il campo vettoriale è differenziabile vicino al punto e rappresenta davvero qualcosa come una velocità.

Il rotore misura la rotazione locale

Per lo stesso campo 3D, il rotore è

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$

Il rotore misura la rotazione locale. Un rotore non nullo significa che il campo tende a far girare una piccola ruota a pale.

In un campo 2D $\mathbf{F} = (P, Q)$, molti corsi usano

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$

come "il rotore". A rigore, questa è la componente $z$ del rotore 3D quando il campo giace nel piano.

Divergenza e rotore in un esempio svolto

Il confronto più chiaro è mettere un campo di pura espansione accanto a un campo di pura rotazione.

Per prima cosa, considera

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y).$$

Questo campo punta lontano dall'origine, e le frecce diventano più lunghe man mano che ti allontani. La sua divergenza è

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} = 1 + 1 = 2.$$

Il suo valore del rotore in 2D è

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0.$$

Quindi questo campo ha divergenza positiva e rotore nullo. Si comporta come una pura espansione locale senza rotazione.

Ora confrontalo con

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x).$$

Questo campo gira attorno all'origine. La sua divergenza è

$$\nabla \cdot \mathbf{G} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} = 0 + 0 = 0.$$

Il suo valore del rotore in 2D è

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Quindi questo campo ha divergenza zero ma rotore non nullo. Si comporta come una rotazione locale senza espansione netta.

Questo è il contrasto principale:

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y) \quad \text{si espande,}$$

mentre

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x) \quad \text{ruota attorno.}$$

Se un esercizio chiede che cosa rileva ciascuna quantità, questo esempio dà già la risposta: la divergenza rileva il primo campo, e il rotore rileva il secondo.

Errori comuni con divergenza e rotore

1. Trattare divergenza e rotore come se fossero lo stesso tipo di misura. Rispondono a domande diverse.
2. Dimenticare che il rotore in 2D è spesso presentato come una scorciatoia scalare, non come il vettore 3D completo.
3. Supporre che una divergenza positiva significhi che i vettori sono grandi. La divergenza dipende da come cambia il campo, non solo dalla lunghezza delle frecce.
4. Supporre che divergenza zero significhi che il campo è nullo. Un campo può essere non nullo ovunque e avere comunque divergenza zero.
5. Usare l'interpretazione di flusso senza controllare il modello. "Sorgente", "pozzo" e "rotazione" sono intuizioni fisiche, non fatti automatici in ogni contesto.

Dove si usano divergenza e rotore

La divergenza e il rotore compaiono nel calcolo vettoriale, nella dinamica dei fluidi e nell'elettromagnetismo perché separano due comportamenti locali utili: espansione e rotazione.

Nei modelli di fluidi, la divergenza può descrivere la compressione o l'espansione locale del flusso, mentre il rotore può descrivere la rotazione locale. Nell'elettromagnetismo, entrambi compaiono nelle equazioni di Maxwell, dove collegano il comportamento del campo a carica, corrente e campi variabili nel tempo.

Più in generale, aiutano a leggere un campo vettoriale invece di limitarsi a disegnare frecce.

Una rapida immagine mentale che di solito aiuta

Immagina di inserire due piccoli strumenti in un campo:

1. Un minuscolo palloncino verifica se il campo tende a espandersi o comprimersi attorno a un punto. Questa è l'idea della divergenza.
2. Una piccola ruota a pale verifica se il campo tende a farla ruotare. Questa è l'idea del rotore.

Queste sono immagini, non definizioni, ma sono immagini utili quando il campo è regolare e rappresenta qualcosa di simile a un flusso.

Prova un esercizio simile

Prendi il campo

$$\mathbf{H}(x,y) = (2x,-2y).$$

Calcola la sua divergenza e il suo valore del rotore in 2D. Poi decidi se il campo si comporta più come un'espansione locale, una rotazione locale, entrambe o nessuna delle due.

Se vuoi un'ulteriore verifica, prova $\mathbf{K}(x,y) = (x,-x)$ e osserva se cambiano la divergenza, il rotore o entrambi.