Z-Score — Cara Menghitung

Z-score memberi tahu seberapa jauh suatu nilai dari mean dalam satuan simpangan baku. Ini berguna saat Anda ingin membandingkan sebuah skor dengan anggota kelompok lainnya, bukan hanya melihat angka mentahnya saja.

Rumus dasarnya adalah

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

dengan $x$ sebagai nilainya, $\mu$ sebagai mean, dan $\sigma$ sebagai simpangan baku.

Jika $z$ bernilai positif, nilainya berada di atas mean. Jika $z$ bernilai negatif, nilainya berada di bawah mean. Jika $z = 0$, nilainya tepat sama dengan mean.

Cara Menghitung Z-Score

Gunakan langkah-langkah berikut:

1. Mulai dengan nilai $x$.
2. Kurangkan mean.
3. Bagi dengan simpangan baku.

Itulah inti perhitungannya: mengubah jarak mentah dari mean menjadi jarak yang sudah distandardisasi.

Arti Rumus Secara Intuitif

Pembilang $x - \mu$ memberi tahu seberapa jauh nilai tersebut dari pusat. Penyebut $\sigma$ mengubah skala jarak itu berdasarkan sebaran data yang umum terjadi.

Jadi, z-score tidak hanya mengatakan "skor ini 14 poin di atas rata-rata." Z-score juga menunjukkan apakah selisih 14 poin itu kecil atau besar untuk kumpulan data tersebut.

Contoh Perhitungan

Misalkan skor ujian adalah $84$, mean kelas adalah $70$, dan simpangan bakunya $7$.

Masukkan angka-angka tersebut ke dalam rumus:

$$z = \frac{84 - 70}{7}$$

Pertama, kurangkan:

$$84 - 70 = 14$$

Lalu, bagi:

$$z = \frac{14}{7} = 2$$

Z-score-nya adalah $2$. Artinya, skor tersebut berada $2$ simpangan baku di atas mean.

Cara Cepat Membaca Hasilnya

• $z = 1$ berarti satu simpangan baku di atas mean.
• $z = -1.5$ berarti satu setengah simpangan baku di bawah mean.
• Nilai absolut yang lebih besar seperti $|z| = 3$ berarti nilainya relatif jauh dari mean.

Penafsiran ini hanya berlaku terhadap mean dan simpangan baku yang Anda gunakan. Jika keduanya berubah, z-score juga berubah.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Salah satu kesalahan yang umum adalah membagi dengan varians, bukan simpangan baku. Z-score menggunakan simpangan baku, bukan varians.

Kesalahan lain adalah mengabaikan tanda. Z-score sebesar $-2$ tidak sama dengan $2$. Yang pertama berada di bawah mean, sedangkan yang kedua berada di atasnya.

Data dari kelompok yang berbeda juga mudah tercampur. Sebuah skor bisa memiliki satu z-score di satu kelas dan z-score yang berbeda di kelas lain jika mean atau simpangan bakunya berubah.

Kapan Z-Score Digunakan

Z-score berguna saat Anda ingin membandingkan nilai dari skala yang berbeda, menemukan pengamatan yang sangat tinggi atau sangat rendah, atau menghubungkan data mentah dengan model distribusi normal.

Penggunaan terakhir itu memerlukan syarat: mengubah z-score menjadi probabilitas paling bermakna ketika model normal memang sesuai, atau ketika soal secara eksplisit meminta Anda menggunakannya.

Angka Populasi vs. Sampel

Dalam banyak rumus statistika, z-score ditulis dengan simbol populasi:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Jika Anda hanya memiliki mean sampel $\bar{x}$ dan simpangan baku sampel $s$, orang sering melakukan standardisasi dengan

$$\frac{x - \bar{x}}{s}$$

Langkah perhitungannya sama, tetapi penafsirannya bergantung pada apakah nilai-nilai tersebut menggambarkan seluruh populasi atau hanya sebuah sampel.

Coba Versi Anda Sendiri

Pilih sembarang nilai, mean, dan simpangan baku, lalu hitung z-score-nya dan jelaskan hasilnya dengan kata-kata. Jika ingin mencoba kasus berikutnya yang berguna, selesaikan soal serupa dengan hasil z-score negatif dan periksa apakah penafsiran Anda tetap sesuai dengan tandanya.