Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran memberi tahu titik-titik mana yang berjarak tetap dari satu titik pusat. Jika sebuah lingkaran memiliki pusat $(h, k)$ dan jari-jari $r$, bentuk standar persamaannya adalah

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Ini berlaku karena setiap titik $(x, y)$ pada lingkaran berjarak tepat $r$ satuan dari pusat. Jika pusatnya berada di titik asal, persamaannya menjadi

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Itulah cara tercepat untuk mengenali lingkaran dalam geometri koordinat.

Apa Arti Persamaan Ini

Ekspresi $x - h$ mengukur jarak horizontal dari pusat, dan $y - k$ mengukur jarak vertikal dari pusat. Jika jarak-jarak itu dikuadratkan lalu dijumlahkan, hasilnya sesuai dengan rumus jarak:

$$\text{distance}^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2$$

Untuk titik-titik pada lingkaran, kuadrat jarak itu harus sama dengan $r^2$. Jadi, persamaan ini sebenarnya adalah cara ringkas untuk mengatakan, "setiap titik di sini tetap berjarak sama dari pusat."

Intuisi

Bayangkan pusat sebagai titik acuan. Lingkaran adalah himpunan semua titik yang selalu berjarak tepat satu jari-jari dari titik acuan itu. Persamaan ini tidak menggambarkan satu titik saja. Persamaan ini menggambarkan seluruh batas yang dibentuk oleh semua titik tersebut.

Itulah juga alasan jari-jari sangat penting. Jika Anda mengubah $r$, pusatnya tetap sama tetapi lingkarannya membesar atau mengecil.

Satu Contoh Lengkap

Tulislah persamaan lingkaran dengan pusat $(3, -2)$ dan jari-jari $5$.

Mulai dari bentuk standar:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Substitusikan $h = 3$, $k = -2$, dan $r = 5$:

$$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$$

Sederhanakan:

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Itulah persamaan lingkarannya.

Anda bisa memeriksanya secara cepat dengan titik yang seharusnya berada pada lingkaran. Titik $(8, -2)$ berjarak $5$ satuan ke kanan dari pusat, jadi seharusnya cocok:

$$(8 - 3)^2 + (-2 + 2)^2 = 5^2 + 0 = 25$$

Hasilnya benar, jadi persamaan tersebut konsisten dengan pusat dan jari-jarinya.

Kesalahan Umum

1. Membaca pusat langsung dari tandanya. Pada $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$, pusatnya adalah $(3, -2)$, bukan $(3, 2)$.
2. Lupa menguadratkan jari-jari. Jika jari-jarinya $5$, ruas kanan adalah $25$, bukan $5$.
3. Menggunakan diameter seolah-olah itu jari-jari. Jika yang diberikan adalah diameter, bagi dulu dengan $2$.
4. Mengharapkan lingkaran real ketika $r^2$ bernilai negatif. Persamaan seperti $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = -9$ tidak memiliki titik real.

Kasus Khusus yang Penting

Jika $r > 0$, persamaan tersebut menggambarkan lingkaran yang sebenarnya.

Jika $r = 0$, persamaan tersebut menggambarkan tepat satu titik, yaitu pusat itu sendiri.

Jika $r^2 < 0$, tidak ada lingkaran real, karena kuadrat jarak tidak bisa bernilai negatif.

Kapan Konsep Ini Digunakan

Persamaan lingkaran muncul dalam geometri koordinat, geometri analitik, dan prakalkulus. Konsep ini digunakan untuk menggambar lingkaran, menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran, memodelkan jarak dari lokasi tetap, dan menulis ulang persamaan yang lebih rumit ke dalam bentuk lingkaran yang mudah dikenali.

Konsep ini juga terhubung secara alami dengan rumus jarak dan melengkapkan kuadrat, yang sering dipakai untuk mengubah persamaan panjang menjadi bentuk standar lingkaran.

Pemeriksaan Mental yang Baik

Saat Anda melihat $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, ajukan dua pertanyaan cepat:

1. Pusat apa yang ditunjukkan oleh tanda-tandanya?
2. Apakah ruas kanan benar-benar jari-jari kuadrat?

Dua pemeriksaan itu menangkap sebagian besar kesalahan.

Coba Versi Anda Sendiri

Cobalah menulis persamaan lingkaran dengan pusat $(-4, 1)$ dan jari-jari $3$. Lalu periksa apakah titik $(-1, 1)$ terletak pada lingkaran itu. Jika ingin melangkah lebih jauh, coba kasus lain dengan memulai dari persamaan yang lebih panjang lalu menulis ulang ke bentuk standar lingkaran.