Rumus Penjumlahan Deret

Hanya ada dua jenis rumus penjumlahan deret yang paling sering digunakan: jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika, dan jumlah $n$ suku pertama deret geometri. Saat mengerjakan soal, jangan terburu-buru memasukkan rumus; tentukan dulu pola deretnya. Jika selisih antara dua suku yang berurutan tetap, gunakan penjumlahan aritmetika; jika rasio antara dua suku yang berurutan tetap, gunakan penjumlahan geometri.

Pelajari Dua Rumus Utama Ini Terlebih Dahulu

Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Jika beda $d$ sudah diketahui, rumus juga dapat ditulis menjadi:

$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$

Jumlah $n$ suku pertama deret geometri untuk $q \ne 1$ adalah:

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

Di sini $a_1$ adalah suku pertama, $a_n$ adalah suku ke-$n$, dan $q$ adalah rasio. Rumus geometri juga sering ditulis sebagai:

$S_n = a_1 \frac{q^n-1}{q-1}$

Kedua penulisan ini setara, hanya saja tanda positif dan negatif pada pembilang dan penyebut ditukar secara bersamaan.

Tentukan Jenis Deret, Baru Hitung Jumlahnya

Saat melihat deretan angka, perhatikan dulu hubungan antara dua suku yang berurutan. Misalnya, $3, 7, 11, 15$ selalu bertambah $4$, maka ini adalah deret aritmetika. Contoh lain, $2, 6, 18, 54$ selalu dikalikan $3$, maka ini adalah deret geometri.

Langkah ini lebih penting daripada sekadar menghafal rumus. Jika jenis deret salah ditentukan, maka perhitungan jumlah selanjutnya biasanya akan salah total.

Mengapa Rumus Penjumlahan Aritmetika Terasa Sangat Alami

Deret aritmetika mudah digunakan karena setelah suku awal dan akhir dipasangkan, jumlah setiap pasangan tersebut adalah sama. Misalkan sebuah deret angka jika dilihat dari depan ke belakang adalah:

$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots,\ a_n$

Dan jika dilihat terbalik adalah:

$a_n,\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \dots,\ a_1$

Setelah dijumlahkan pada posisi yang bersesuaian, setiap pasangan hasilnya adalah $a_1 + a_n$. Oleh karena itu, dua kali jumlah totalnya adalah:

$2S_n = n(a_1 + a_n)$

Sehingga:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Inilah asal-usul paling intuitif dari rumus penjumlahan aritmetika.

Contoh Soal: Cari Jumlah Suku Terlebih Dahulu, Baru Cari Jumlah n Suku Pertama

Hitunglah jumlah dari deret aritmetika $5, 8, 11, \dots, 32$.

Pertama, tentukan jenisnya. Karena setiap dua suku berurutan bertambah $3$, maka ini adalah deret aritmetika.

Nilai yang diketahui adalah:

• Suku pertama $a_1 = 5$
• Suku terakhir $a_n = 32$
• Beda $d = 3$

Hal yang paling sering terlewatkan di sini adalah: soal memberikan suku terakhir $32$, tetapi tidak memberikan jumlah suku $n$ secara langsung. Jadi, kita harus mencari $n$ terlebih dahulu menggunakan rumus suku ke-n:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Setelah dimasukkan nilainya, kita dapatkan:

$32 = 5 + (n-1)\cdot 3$

$27 = 3(n-1)$

$n-1 = 9$

$n = 10$

Sekarang, masukkan ke dalam rumus penjumlahan:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S_{10} = \frac{10(5+32)}{2}$

$S_{10} = 5 \cdot 37 = 185$

Jadi, jumlah dari deretan angka ini adalah $185$.

Kunci utama dari contoh soal ini bukan pada memasukkan rumus, melainkan menyadari bahwa $n$ belum diketahui dan harus dicari terlebih dahulu.

Kapan Menggunakan Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri

Jika setiap suku merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan angka yang sama, maka pertimbangkanlah deret geometri.

Sebagai contoh, deret:

$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32$

Suku pertamanya adalah $2$, rasionya adalah $2$, maka jumlah $5$ suku pertamanya adalah:

$S_5 = 2\frac{1-2^5}{1-2}$

$S_5 = 2\frac{1-32}{-1} = 62$

Kita juga bisa memverifikasinya dengan penjumlahan langsung:

$2+4+8+16+32 = 62$

Jika $q = 1$, maka penyebut akan menjadi $0$, dan pada kondisi ini rumus penjumlahan geometri tidak bisa digunakan secara langsung. Karena setiap suku bernilai sama, maka jumlah $n$ suku pertama dapat langsung ditulis sebagai:

$S_n = na_1$

Di Mana Kesalahan Umum Sering Terjadi

Menganggap "Suku Terakhir" sebagai "Jumlah Suku"

Kalimat "dihitung sampai $32$" berarti suku terakhirnya adalah $32$, bukan berarti total ada $32$ suku. Seperti pada contoh soal di atas, kita harus mencari $n$ terlebih dahulu melalui hubungan suku ke-n.

Hanya Melihat Besarnya Angka, Bukan Polanya

Beberapa deret terlihat "tumbuh dengan cepat" sehingga sering salah dikira sebagai deret geometri; ada juga yang terburu-buru mengambil kesimpulan hanya dengan melihat dua suku pertama. Cara yang lebih aman adalah membandingkan selisih antar suku yang berurutan, atau membandingkan rasio antar suku yang berurutan.

Lupa Memeriksa Syarat Rumus Geometri

Rumus:

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

Hanya berlaku langsung jika $q \ne 1$. Jika $q = 1$, maka harus menggunakan $S_n = na_1$.

Di Mana Penjumlahan Deret Biasanya Digunakan

Penjumlahan deret sering ditemukan dalam soal aljabar sekolah menengah, latihan dasar sebelum masuk ke induksi matematika, serta model cicilan dan bunga majemuk dalam keuangan. Selama soal memberikan serangkaian nilai diskrit yang berpola dan meminta jumlah totalnya, maka penjumlahan deret biasanya menjadi alat utamanya.

Coba Kerjakan Satu Soal

Cobalah hitung jumlah dari deret $4, 9, 14, 19, 24$. Tentukan dulu apakah ini deret aritmetika, lalu putuskan apakah kamu bisa langsung menggunakan $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.

Setelah selesai, cobalah versi geometri, misalnya jumlah $4$ suku pertama dari $3, 6, 12, 24$. Dengan mengerjakan kedua soal ini secara berdampingan, kamu akan lebih cepat memahami perbedaan antara "selisih tetap" dan "rasio tetap".