Hiperbola - Persamaan, Asimtot & Sifat

Hiperbola adalah kurva dengan dua cabang terbuka. Dalam geometri koordinat, cara tercepat untuk mengenalinya adalah bahwa persamaan standarnya memiliki satu suku kuadrat yang dikurangkan dari suku kuadrat lainnya.

Untuk hiperbola yang sejajar sumbu dan berpusat di $(h, k)$, dua bentuk standar yang umum adalah

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

dan

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

Bentuk pertama membuka ke kiri dan kanan. Bentuk kedua membuka ke atas dan bawah.

Aturan cepat membacanya adalah sebagai berikut: pusat berasal dari $(h, k)$, suku positif menunjukkan arah buka, dan asimtot menunjukkan arah yang didekati cabang-cabangnya.

Apa itu hiperbola

Secara geometri, hiperbola dapat didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang selisih mutlak jaraknya ke dua titik tetap, yang disebut fokus, bernilai konstan.

Definisi itu menjelaskan mengapa grafiknya memiliki dua cabang, bukan satu lintasan tertutup. Namun, dalam kebanyakan soal aljabar dan prakalkulus, Anda bekerja dari persamaannya karena itu memungkinkan Anda membaca grafik jauh lebih cepat.

Cara membaca persamaan hiperbola

Jika persamaannya adalah

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

maka fakta-fakta berikut berlaku untuk hiperbola yang sejajar sumbu:

• Pusat: $(h, k)$
• Arah buka: kiri-kanan
• Titik puncak: $(h \pm a, k)$
• Asimtot: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Jika persamaannya adalah

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

maka:

• Pusat: $(h, k)$
• Arah buka: atas-bawah
• Titik puncak: $(h, k \pm a)$
• Asimtot: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

Untuk bentuk-bentuk sejajar sumbu yang sama ini, fokus terletak lebih jauh dari pusat dibanding titik puncak, dan jaraknya memenuhi

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Gunakan rumus-rumus ini hanya untuk hiperbola sejajar sumbu dalam bentuk standar. Jika persamaan memiliki suku tambahan atau mengalami rotasi, Anda perlu langkah tambahan sebelum membaca grafik dengan cara ini.

Apa yang ditunjukkan oleh asimtot

Asimtot adalah garis yang memandu cabang-cabang grafik. Asimtot bukan fitur tambahan yang muncul secara acak. Garis-garis ini menunjukkan arah grafik dalam jangka panjang.

Di dekat pusat, kurva membelok menjauhi asimtot. Jauh dari pusat, setiap cabang makin lama makin dekat ke asimtot. Itulah sebabnya asimtot menjadi salah satu cara tercepat untuk membuat sketsa hiperbola dengan akurat.

Contoh soal: membaca grafik dari persamaan

Perhatikan

$$\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$$

Ini berada dalam bentuk standar horizontal, jadi hiperbola membuka ke kiri dan kanan.

Pusatnya adalah $(2, -1)$ karena $(x - 2)$ menggeser ke kanan sejauh $2$ dan $(y + 1)$ menggeser ke bawah sejauh $1$.

Dari penyebutnya,

$$a^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad a = 4$$

dan

$$b^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad b = 3$$

Jadi titik puncaknya adalah

$$(2 \pm 4, -1)$$

yang menghasilkan

$$(6, -1) \text{ dan } (-2, -1)$$

Asimtot menggunakan gradien $\pm b/a = \pm 3/4$ dan melalui pusat:

$$y + 1 = \pm \frac{3}{4}(x - 2)$$

Jika Anda juga ingin mencari fokus, gunakan $c^2 = a^2 + b^2$:

$$c^2 = 16 + 9 = 25 \quad \Rightarrow \quad c = 5$$

Jadi fokusnya adalah

$$(2 \pm 5, -1)$$

atau $(7, -1)$ dan $(-3, -1)$.

Itu memberi sketsa lengkapnya: plot pusat, tandai titik puncak, gambar asimtot melalui pusat, lalu gambar dua cabang yang menjauh dari pusat sambil mendekati garis-garis tersebut.

Kesalahan umum pada hiperbola

1. Lupa bahwa hiperbola memiliki pengurangan dalam bentuk standar. Jika suku-suku kuadrat dijumlahkan, itu adalah elips, bukan hiperbola.
2. Tertukar antara $a^2$ dan $b^2$. Dalam bentuk standar ini, $a^2$ melekat pada suku yang positif.
3. Menggunakan gradien asimtot yang salah. Untuk hiperbola horizontal, gradiennya adalah $\pm b/a$. Untuk hiperbola vertikal, gradiennya adalah $\pm a/b$.
4. Salah membaca tanda pusat. Suku seperti $(x + 2)^2$ berarti koordinat $x$ pusat adalah $-2$.

Di mana hiperbola digunakan

Anda akan menjumpai hiperbola dalam irisan kerucut, geometri analitik, dan pemodelan berbasis koordinat. Hiperbola juga muncul ketika suatu masalah didefinisikan oleh selisih konstan jarak ke dua titik tetap.

Bagi kebanyakan siswa, penggunaan praktisnya lebih sederhana: jika Anda dapat mengenali pusat, arah buka, titik puncak, dan asimtot, Anda dapat menggambar bentuk standar dengan cepat dan menghindari kesalahan ujian yang paling umum.

Coba soal serupa

Coba buat sketsa

$$\frac{(y - 3)^2}{25} - \frac{(x + 1)^2}{4} = 1$$

Pertama, tentukan pusatnya dan putuskan apakah cabangnya membuka ke atas-bawah atau kiri-kanan. Lalu tulis titik puncak dan asimtotnya. Jika ingin satu langkah lagi, pelajari irisan kerucut lain dan bandingkan bagaimana hiperbola berbeda dari elips.