Vektor — Besar, Arah, Penjumlahan & Dot Product

Vektor menyatakan besar dan arah sekaligus. Dalam koordinat, vektor seperti $v = (3, 4)$ atau $v = (2, -1, 5)$ memberi tahu seberapa jauh perpindahan pada setiap sumbu. Dari komponen-komponen itu, Anda bisa mencari besar vektor, menjumlahkan vektor, dan menghitung dot product.

Jika Anda hanya mengingat satu gagasan, ingat ini: vektor bukan sekadar panjang. Arah adalah bagian dari besaran itu, jadi operasinya juga harus mempertahankan arah.

Apa arti vektor dalam koordinat

Skalar hanya memiliki besar. Suhu, massa, dan waktu adalah contoh skalar yang umum. Vektor memiliki besar dan arah. Perpindahan, kecepatan, dan gaya adalah contoh vektor yang standar.

Dalam matematika dan fisika dasar, vektor sering ditulis sebagai daftar komponen berurutan. Dalam $2$ dimensi,

$$v = (v_1, v_2)$$

dan dalam $3$ dimensi,

$$v = (v_1, v_2, v_3).$$

Jumlah komponen itu penting. Anda hanya bisa menjumlahkan vektor secara langsung, atau mengambil dot product standar, ketika vektor-vektor tersebut berada pada dimensi yang sama.

Cara mencari besar vektor

Besar vektor adalah panjangnya. Dalam setting Euclidean biasa, besar dari $v = (v_1, v_2)$ adalah

$$|v| = \sqrt\{v_1^2 + v_2^2\}$$

dan untuk $v = (v_1, v_2, v_3)$ adalah

$$|v| = \sqrt\{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2\}.$$

Ini adalah versi vektor dari gagasan Teorema Pythagoras. Besar memberi tahu seberapa panjang vektor, sedangkan tanda dan ukuran relatif dari komponennya membantu menentukan arahnya.

Satu hal yang perlu diperhatikan: vektor nol memiliki besar $0$, tetapi tidak menunjuk ke satu arah yang unik.

Cara kerja penjumlahan vektor

Untuk menjumlahkan vektor, jumlahkan komponen yang bersesuaian:

$$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2).$$

Hasilnya adalah vektor lain. Ini penting karena hasil penjumlahan tetap memiliki besar dan arah.

Inilah sebabnya Anda biasanya tidak bisa hanya menjumlahkan besar-besarnya saja. Jika dua vektor mengarah ke arah yang berbeda, efek gabungannya bergantung pada kedua arah itu, bukan hanya pada seberapa besar angkanya.

Apa yang ditunjukkan oleh dot product

Dot product mengambil dua vektor dengan dimensi yang sama dan menghasilkan sebuah skalar:

$$a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n.$$

Ini menunjukkan seberapa sejajar kedua vektor tersebut. Dalam setting Euclidean biasa, dot product juga memenuhi

$$a \cdot b = |a||b|\cos(\theta),$$

dengan $\theta$ adalah sudut di antara kedua vektor.

Rumus itu memberi interpretasi cepat:

• Jika $a \cdot b > 0$, sudutnya lancip.
• Jika $a \cdot b = 0$, vektor-vektor tak nol tersebut saling tegak lurus.
• Jika $a \cdot b < 0$, sudutnya tumpul.

Interpretasi sudut ini bergantung pada dot product Euclidean biasa. Itulah versi standar yang digunakan dalam pengantar matematika dan fisika.

Contoh lengkap: besar, penjumlahan, dan dot product sekaligus

Misalkan

$$a = (3, 4), \qquad b = (4, -3).$$

Mulai dari besar vektor. Untuk $a$,

$$|a| = \sqrt\{3^2 + 4^2\} = \sqrt\{25\} = 5.$$

Untuk $b$,

$$|b| = \sqrt\{4^2 + (-3)^2\} = \sqrt\{25\} = 5.$$

Jadi kedua vektor memiliki besar yang sama, meskipun arahnya berbeda.

Sekarang jumlahkan:

$$a + b = (3 + 4,\ 4 + (-3)) = (7, 1).$$

Jumlahnya adalah vektor baru, bukan bilangan $10$. Besarnya adalah

$$|a + b| = \sqrt\{7^2 + 1^2\} = \sqrt\{50\}.$$

Sekarang hitung dot product:

$$a \cdot b = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0.$$

Karena dot product bernilai $0$, vektor-vektor tak nol ini saling tegak lurus pada bidang Euclidean biasa. Satu contoh ini menunjukkan pola utamanya dengan jelas:

• besar mengukur ukuran
• penjumlahan menghasilkan vektor baru
• dot product mengukur keselarasan arah

Kesalahan umum pada vektor

Menjumlahkan besar, bukan vektornya

Menjumlahkan $|a| + |b|$ tidak sama dengan mencari $|a + b|$. Keduanya adalah besaran yang berbeda kecuali jika vektor-vektor itu mengarah ke arah yang sama.

Mengabaikan syarat dimensi yang sama

Anda tidak bisa langsung menjumlahkan vektor $2$D dengan vektor $3$D, dan Anda juga tidak bisa mengambil dot product standar di antara keduanya.

Tertukar antara dot product dan perkalian dengan bilangan

Dot product menghasilkan satu skalar. Operasi ini tidak menghasilkan vektor lain.

Menggunakan aturan sudut tanpa setting yang tepat

Rumus besar vektor dan interpretasi geometris dot product di atas mengasumsikan setting Euclidean biasa. Itu memang setting standar di sebagian besar mata kuliah pengantar, tetapi tetap merupakan sebuah syarat.

Di mana vektor digunakan

Vektor muncul di mana pun arah itu penting. Dalam geometri, vektor membantu menjelaskan titik, garis, proyeksi, dan sudut. Dalam fisika, vektor digunakan untuk perpindahan, kecepatan, percepatan, dan gaya. Dalam teknik dan grafika, vektor membantu merepresentasikan gerak, orientasi, dan perubahan dalam ruang.

Anda tidak perlu aljabar linear tingkat lanjut untuk mulai menggunakan vektor dengan baik. Untuk banyak soal, seluruh prosesnya hanya ini: tulis komponennya dengan benar, terapkan operasi yang tepat, lalu tafsirkan hasilnya.

Coba soal vektor serupa

Ubah contohnya menjadi $a = (2, 1)$ dan $b = (1, 2)$. Cari besar masing-masing vektor, jumlahkan keduanya, lalu hitung dot product-nya. Setelah itu, tentukan apakah sudut di antara keduanya lancip, siku-siku, atau tumpul.

Jika Anda ingin pengecekan cepat, selesaikan pasangan yang sama dengan tangan terlebih dahulu lalu bandingkan dengan solver. Cara ini membuat kesalahan tanda dan kekeliruan komponen jauh lebih mudah ditemukan.