Dot Product — Rumus, Makna Geometris & Contoh

Dot product mengalikan dua vektor dengan dimensi yang sama dan menghasilkan satu bilangan. Dalam koordinat,

$$u = (u_1, u_2, \dots, u_n), \qquad v = (v_1, v_2, \dots, v_n),$$ $$u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n.$$

Dalam ruang Euclidean biasa, bilangan yang sama ini juga punya makna geometris:

$$u \cdot v = |u||v|\cos\theta,$$

dengan $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor. Artinya, dot product bukan sekadar rumus untuk dihitung. Dot product juga menunjukkan seberapa kuat dua vektor mengarah ke arah yang sama.

Apa yang ditunjukkan oleh dot product

Dot product juga disebut scalar product karena hasilnya adalah skalar, bukan vektor lain.

Dalam ruang Euclidean, tandanya memberi gambaran cepat tentang sudut. Dot product yang positif berarti sudutnya lancip, dot product nol berarti kedua vektor saling tegak lurus jika keduanya tidak nol, dan dot product yang negatif berarti sudutnya tumpul.

Salah satu kasus yang sangat penting adalah vektor yang didotkan dengan dirinya sendiri:

$$u \cdot u = u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2.$$

Dalam ruang Euclidean, ini sama dengan $|u|^2$, jadi nilainya tidak mungkin negatif. Itulah sebabnya $u \cdot u$ sering dipakai untuk mencari panjang tanpa mengambil akar kuadrat.

Cara menghitung dot product

Gunakan rumus koordinat dalam tiga langkah:

1. Tulis vektor dalam urutan yang sama dan periksa bahwa keduanya memiliki dimensi yang sama.
2. Kalikan komponen yang bersesuaian.
3. Jumlahkan hasilnya.

Tidak ada komponen yang diubah urutannya. Komponen pertama dipasangkan dengan komponen pertama, komponen kedua dengan komponen kedua, dan seterusnya.

Contoh soal dot product

Tentukan dot product dari

$$u = (2, -1, 3), \qquad v = (4, 5, 1).$$

Kalikan komponen yang bersesuaian:

$$2 \cdot 4 = 8, \qquad (-1) \cdot 5 = -5, \qquad 3 \cdot 1 = 3.$$

Sekarang jumlahkan:

$$u \cdot v = 8 + (-5) + 3 = 6.$$

Jadi, dot product-nya adalah $6$.

Apa arti $6$? Dalam ruang Euclidean, hasil positif ini menunjukkan bahwa sudut antara kedua vektor adalah sudut lancip. Ini tidak berarti kedua vektor sama atau sejajar. Hasil ini hanya menunjukkan bahwa tumpang tindih arah keduanya bernilai positif.

Makna geometris dot product

Dalam geometri Euclidean, dot product mengukur seberapa besar satu vektor mengarah ke arah vektor yang lain. Jika kedua vektor mengarah hampir ke arah yang sama, dot product bernilai besar dan positif. Jika keduanya membentuk sudut siku-siku, dot product bernilai $0$. Jika keduanya lebih banyak mengarah berlawanan, dot product bernilai negatif.

Ini berasal dari rumus

$$u \cdot v = |u||v|\cos\theta$$

karena suku cosinus mengendalikan tanda dan besar nilainya:

• $\cos\theta > 0$ untuk sudut lancip, jadi dot product bernilai positif.
• $\cos\theta = 0$ untuk sudut siku-siku, jadi dot product bernilai $0$.
• $\cos\theta < 0$ untuk sudut tumpul, jadi dot product bernilai negatif.

Penafsiran sudut ini bergantung pada dot product Euclidean standar. Jika Anda bekerja dengan inner product yang berbeda, geometri yang muncul bisa berubah, sehingga gambaran sudut yang biasa tidak otomatis tetap berlaku.

Kesalahan umum pada dot product

Lupa memeriksa dimensi terlebih dahulu

Dot product standar tidak terdefinisi untuk vektor $2$D dan vektor $3$D. Kedua vektor harus memiliki jumlah komponen yang sama.

Tertukar antara dot product dan perkalian per komponen

Untuk $(2,3)$ dan $(4,5)$, dot product-nya adalah

$$2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 23,$$

bukan $(8,15)$.

Menganggap hasil positif sebagai bukti bahwa vektor sejajar

Dot product yang positif hanya menunjukkan bahwa sudutnya lancip dalam ruang Euclidean. Banyak pasangan vektor yang berbeda bisa memiliki dot product positif.

Melupakan syarat di balik "$u \cdot v = 0$ berarti tegak lurus"

Pernyataan itu benar dalam ruang Euclidean standar. Itulah ruang yang dipakai pada sebagian besar soal pengantar, tetapi syarat tersebut tetap penting.

Di mana dot product digunakan

Dot product muncul setiap kali arah penting, tetapi jawaban akhirnya harus berupa satu bilangan.

Dalam geometri, dot product membantu menguji ortogonalitas dan menghitung sudut. Dalam fisika, dot product muncul dalam rumus seperti usaha, ketika hanya komponen gaya searah gerak yang dihitung. Dalam aljabar linear dan matematika terapan, dot product juga muncul pada proyeksi, gagasan least squares, dan perhitungan kemiripan.

Coba soal dot product serupa

Coba

$$u = (1, 2, -2), \qquad v = (3, -1, 4).$$

Hitung $u \cdot v$, lalu hitung $u \cdot u$. Nilai kedua itu adalah cara yang baik untuk melihat mengapa vektor yang didotkan dengan dirinya sendiri berperilaku berbeda dari dot product antara dua vektor yang berbeda.