Score z — comment le calculer

Un score z indique à quelle distance une valeur se trouve de la moyenne, en unités d’écart-type. C’est utile lorsque vous voulez comparer un score au reste d’un groupe, et pas seulement lire la valeur brute toute seule.

La formule de base est

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

où $x$ est la valeur, $\mu$ est la moyenne et $\sigma$ est l’écart-type.

Si $z$ est positif, la valeur est au-dessus de la moyenne. Si $z$ est négatif, la valeur est en dessous de la moyenne. Si $z = 0$, la valeur est exactement égale à la moyenne.

Comment calculer un score z

Suivez ces étapes :

1. Commencez par la valeur $x$.
2. Soustrayez la moyenne.
3. Divisez par l’écart-type.

C’est tout ce que fait ce calcul : transformer une distance brute à la moyenne en une distance standardisée.

Ce que signifie intuitivement la formule

Le numérateur $x - \mu$ indique à quelle distance la valeur se trouve du centre. Le dénominateur $\sigma$ remet cette distance à l’échelle selon la dispersion habituelle des données.

Ainsi, un score z ne dit pas seulement « ce score est de 14 points au-dessus de la moyenne ». Il indique si 14 points représentent un petit écart ou un grand écart pour cet ensemble de données précis.

Exemple détaillé

Supposons qu’une note soit de $84$, que la moyenne de la classe soit de $70$ et que l’écart-type soit de $7$.

Remplaçons dans la formule :

$$z = \frac{84 - 70}{7}$$

On soustrait d’abord :

$$84 - 70 = 14$$

Puis on divise :

$$z = \frac{14}{7} = 2$$

Le score z est $2$. Cela signifie que la note se situe à $2$ écarts-types au-dessus de la moyenne.

Une façon rapide de lire la réponse

• $z = 1$ signifie un écart-type au-dessus de la moyenne.
• $z = -1.5$ signifie un écart-type et demi en dessous de la moyenne.
• Une valeur absolue plus grande, comme $|z| = 3$, signifie que la valeur est relativement éloignée de la moyenne.

Cette interprétation ne vaut que par rapport à la moyenne et à l’écart-type utilisés. Si vous les changez, le score z change aussi.

Erreurs fréquentes

Une erreur fréquente consiste à diviser par la variance au lieu de l’écart-type. Un score z utilise l’écart-type, pas la variance.

Une autre erreur consiste à ignorer le signe. Un score z de $-2$ n’est pas la même chose que $2$. Le premier est en dessous de la moyenne, le second au-dessus.

Il est aussi facile de mélanger des données provenant de groupes différents. Un score peut avoir un score z dans une classe et un score z différent dans une autre si la moyenne ou l’écart-type change.

Quand utilise-t-on les scores z ?

Les scores z sont utiles lorsque vous voulez comparer des valeurs issues d’échelles différentes, repérer des observations inhabituellement élevées ou faibles, ou relier des données brutes à un modèle de loi normale.

Ce dernier usage demande une condition : convertir un score z en probabilité n’a vraiment de sens que lorsqu’un modèle normal est approprié, ou lorsque l’énoncé vous demande explicitement d’en utiliser un.

Valeurs de population ou d’échantillon

Dans beaucoup de formules de statistique, le score z s’écrit avec les symboles de population :

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Si vous n’avez qu’une moyenne d’échantillon $\bar{x}$ et un écart-type d’échantillon $s$, on standardise souvent avec

$$\frac{x - \bar{x}}{s}$$

L’étape de calcul est la même, mais l’interprétation dépend du fait que ces valeurs décrivent une population entière ou seulement un échantillon.

Essayez votre propre exemple

Choisissez une valeur, une moyenne et un écart-type, puis calculez le score z et expliquez le résultat avec des mots. Pour un bon exercice supplémentaire, résolvez un problème similaire où le score z est négatif et vérifiez que votre interprétation correspond toujours au signe.