Triplets pythagoriciens — triplets courants et comment les trouver

Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers positifs $(a,b,c)$ qui vérifient $a^2 + b^2 = c^2$. En termes simples, ces trois nombres sont les longueurs entières des côtés d’un triangle rectangle, et $c$ est l’hypoténuse. L’exemple classique est $(3,4,5)$, car $3^2 + 4^2 = 5^2$.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Utilisez cette idée seulement lorsque les trois valeurs sont des entiers positifs. Beaucoup de triangles rectangles vérifient le théorème de Pythagore, mais seuls certains ont des longueurs de côtés entières.

Triplets pythagoriciens courants à connaître

Ils apparaissent assez souvent pour qu’il soit utile de les reconnaître immédiatement :

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

Leurs multiples fonctionnent aussi. Par exemple, doubler $(3,4,5)$ donne $(6,8,10)$, et

$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$

C’est pourquoi beaucoup de triplets non primitifs ne sont que des versions agrandies de plus petits triplets.

Ce qui rend un triplet primitif

Un triplet pythagoricien primitif n’a aucun facteur commun supérieur à $1$. Par exemple, $(3,4,5)$ est primitif, mais $(6,8,10)$ ne l’est pas, car les trois nombres sont divisibles par $2$.

C’est important, car tout triplet non primitif s’obtient en multipliant un triplet primitif. Si vous comprenez les triplets primitifs, vous comprenez aussi toute la famille plus large.

Comment trouver des triplets pythagoriciens

Il existe deux façons pratiques d’en obtenir de nouveaux.

Multiplier un triplet que vous connaissez déjà

Si $(a,b,c)$ est un triplet pythagoricien et $k$ est un entier positif, alors $(ka,kb,kc)$ est aussi un triplet pythagoricien, car

$$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$$

C’est la façon la plus rapide de construire des exemples comme $(9,12,15)$ ou $(10,24,26)$.

Utiliser la formule d’Euclide

Si $m$ et $n$ sont des entiers avec $m > n > 0$, alors

$$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

donne un triplet pythagoricien.

Si vous voulez un triplet primitif, c’est-à-dire que les trois nombres n’ont aucun facteur commun supérieur à $1$, il faut aussi que $m$ et $n$ soient premiers entre eux et ne soient pas tous les deux impairs.

Exemple détaillé : générer un triplet

Prenez $m = 4$ et $n = 1$. Comme $m > n > 0$, la formule d’Euclide s’applique.

Alors

$$a = 4^2 - 1^2 = 15,\quad b = 2(4)(1) = 8,\quad c = 4^2 + 1^2 = 17$$

Donc $(8,15,17)$ est un triplet pythagoricien.

Vous pouvez le vérifier directement :

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

Multipliez-le maintenant par $2$ et vous obtenez $(16,30,34)$. La forme du triangle rectangle reste la même, mais les longueurs des côtés doublent.

Cet exemple montre les deux idées principales à la fois : la formule d’Euclide crée un triplet, et la multiplication en crée d’autres.

Erreurs fréquentes avec les triplets pythagoriciens

Oublier la condition des entiers

L’équation $a^2+b^2=c^2$ a beaucoup de solutions réelles, mais un triplet pythagoricien exige que les trois valeurs soient des entiers positifs.

Dire que tout triplet valide est primitif

$(6,8,10)$ est un triplet valide, mais il n’est pas primitif, car les trois nombres ont un facteur commun égal à $2$.

Confondre « triplet » et « triplet primitif »

Un triplet doit seulement vérifier $a^2+b^2=c^2$ avec des entiers positifs. Les conditions supplémentaires sur $m$ et $n$ ne comptent que si vous voulez que le triplet soit primitif.

Mettre le plus grand nombre à la mauvaise place

Dans un triplet $(a,b,c)$, $c$ est l’hypoténuse, donc ce doit être le plus grand nombre.

Quand les triplets pythagoriciens sont utiles

Ils apparaissent en géométrie du triangle rectangle, en géométrie analytique et en théorie élémentaire des nombres. Ils sont aussi utiles lorsque vous voulez vérifier rapidement si trois nombres entiers peuvent former un triangle rectangle.

Dans les mathématiques fondées sur les démonstrations, c’est un exemple classique d’équation diophantienne : une équation pour laquelle on cherche des solutions entières plutôt que toutes les solutions réelles.

Essayez un problème similaire

Utilisez $m = 5$ et $n = 2$ dans la formule d’Euclide, puis vérifiez le résultat dans $a^2 + b^2 = c^2$. Si vous voulez aller un peu plus loin, explorez le théorème de Pythagore pour voir comment la même relation sert à trouver des longueurs de côtés manquantes.