Terne pitagoriche — terne comuni e come trovarle

Una terna pitagorica è un insieme di tre interi positivi $(a,b,c)$ che soddisfano $a^2 + b^2 = c^2$. In parole semplici, i tre numeri sono le lunghezze intere dei lati di un triangolo rettangolo, e $c$ è l'ipotenusa. L'esempio classico è $(3,4,5)$ perché $3^2 + 4^2 = 5^2$.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Usa questa idea solo quando tutti e tre i valori sono interi positivi. Molti triangoli rettangoli soddisfano il teorema di Pitagora, ma solo alcuni hanno lati di lunghezza intera.

Terne pitagoriche comuni da conoscere

Queste compaiono abbastanza spesso da valere la pena riconoscerle a colpo d'occhio:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

Anche i loro multipli funzionano. Per esempio, raddoppiare $(3,4,5)$ dà $(6,8,10)$, e

$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$

Per questo molte terne non primitive sono semplicemente copie ingrandite di terne più piccole.

Cosa rende una terna primitiva

Una terna pitagorica primitiva non ha alcun fattore comune maggiore di $1$. Per esempio, $(3,4,5)$ è primitiva, ma $(6,8,10)$ non lo è perché tutti e tre i numeri sono divisibili per $2$.

Questo è importante perché ogni terna non primitiva si ottiene ridimensionando una terna primitiva. Se capisci le terne primitive, capisci anche la famiglia più ampia.

Come trovare terne pitagoriche

Ci sono due modi pratici per ottenerne di nuove.

Ridimensiona una terna che già conosci

Se $(a,b,c)$ è una terna pitagorica e $k$ è un intero positivo, allora anche $(ka,kb,kc)$ è una terna pitagorica perché

$$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$$

Questo è il modo più rapido per costruire esempi come $(9,12,15)$ o $(10,24,26)$.

Usa la formula di Euclide

Se $m$ e $n$ sono interi con $m > n > 0$, allora

$$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

fornisce una terna pitagorica.

Se vuoi una terna primitiva, cioè una terna in cui i tre numeri non hanno alcun fattore comune maggiore di $1$, allora è anche necessario che $m$ e $n$ siano coprimi e non entrambi dispari.

Esempio svolto: genera una terna

Prendi $m = 4$ e $n = 1$. Poiché $m > n > 0$, la formula di Euclide si applica.

Allora

$$a = 4^2 - 1^2 = 15,\quad b = 2(4)(1) = 8,\quad c = 4^2 + 1^2 = 17$$

Quindi $(8,15,17)$ è una terna pitagorica.

Puoi verificarlo direttamente:

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

Ora moltiplicala per $2$ e ottieni $(16,30,34)$. La forma del triangolo rettangolo resta la stessa, ma le lunghezze dei lati raddoppiano.

Questo esempio mostra insieme entrambe le idee principali: la formula di Euclide crea una terna, e il ridimensionamento ne crea altre.

Errori comuni con le terne pitagoriche

Dimenticare la condizione degli interi

L'equazione $a^2+b^2=c^2$ ha molte soluzioni nei numeri reali, ma una terna pitagorica richiede che tutti e tre i valori siano interi positivi.

Chiamare primitiva ogni terna valida

$(6,8,10)$ è una terna valida, ma non è primitiva perché tutti e tre i numeri hanno un fattore comune pari a $2$.

Confondere "terna" e "terna primitiva"

Una terna deve solo soddisfare $a^2+b^2=c^2$ con interi positivi. Le condizioni aggiuntive su $m$ e $n$ contano solo se vuoi che la terna sia primitiva.

Mettere il numero più grande nel posto sbagliato

In una terna $(a,b,c)$, $c$ è l'ipotenusa, quindi deve essere il numero più grande.

Quando le terne pitagoriche sono utili

Compaiono nella geometria dei triangoli rettangoli, nella geometria analitica e nella teoria dei numeri di base. Sono utili anche quando vuoi controllare rapidamente se tre numeri interi possono formare un triangolo rettangolo.

Nella matematica dimostrativa, sono un esempio standard di equazione diofantea: un'equazione in cui si cercano soluzioni intere invece di tutte le soluzioni reali.

Prova un problema simile

Usa $m = 5$ e $n = 2$ nella formula di Euclide, poi verifica il risultato in $a^2 + b^2 = c^2$. Se vuoi fare un passo in più, esplora il teorema di Pitagora per vedere come la stessa relazione si usa per trovare le lunghezze dei lati mancanti.