피타고라스 수 — 자주 나오는 수와 구하는 방법

피타고라스 수는 $a^2 + b^2 = c^2$를 만족하는 세 양의 정수 $(a,b,c)$의 집합입니다. 쉽게 말해, 이 세 수는 직각삼각형의 변의 길이를 모두 정수로 나타낸 것이고, $c$는 빗변입니다. 가장 대표적인 예는 $(3,4,5)$이며, 이는 $3^2 + 4^2 = 5^2$이기 때문입니다.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

이 개념은 세 값이 모두 양의 정수일 때만 사용합니다. 많은 직각삼각형이 피타고라스 정리를 만족하지만, 그중 일부만 변의 길이가 모두 정수입니다.

알아두면 좋은 대표적인 피타고라스 수

다음 수들은 자주 등장하므로 바로 알아보면 좋습니다.

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

이 수들의 배수도 역시 성립합니다. 예를 들어 $(3,4,5)$를 두 배 하면 $(6,8,10)$이 되고,

$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$

가 됩니다.

그래서 많은 비원시 피타고라스 수는 더 작은 수의 단순한 배수 형태입니다.

원시 피타고라스 수란 무엇인가

원시 피타고라스 수는 세 수의 공약수가 $1$보다 큰 것이 없는 경우를 말합니다. 예를 들어 $(3,4,5)$는 원시이지만, $(6,8,10)$은 세 수 모두 $2$로 나누어지므로 원시가 아닙니다.

이 점이 중요한 이유는 모든 비원시 피타고라스 수가 어떤 원시 피타고라스 수를 배수로 만든 것이기 때문입니다. 원시 피타고라스 수를 이해하면 더 큰 전체 구조도 함께 이해할 수 있습니다.

피타고라스 수를 구하는 방법

새로운 피타고라스 수를 얻는 실용적인 방법은 두 가지가 있습니다.

이미 알고 있는 수를 배수로 만들기

$(a,b,c)$가 피타고라스 수이고 $k$가 양의 정수이면, $(ka,kb,kc)$도 피타고라스 수입니다. 그 이유는

$$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$$

이기 때문입니다.

이 방법은 $(9,12,15)$나 $(10,24,26)$ 같은 예를 빠르게 만드는 가장 쉬운 방법입니다.

유클리드 공식 사용하기

$m$과 $n$이 $m > n > 0$을 만족하는 정수이면,

$$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

로 피타고라스 수를 만들 수 있습니다.

세 수의 공약수가 $1$보다 큰 것이 없는 원시 피타고라스 수를 원한다면, $m$과 $n$은 서로소여야 하고 둘 다 홀수이면 안 됩니다.

풀이 예시: 피타고라스 수 하나 만들기

$m = 4$, $n = 1$이라고 합시다. 이때 $m > n > 0$이므로 유클리드 공식을 적용할 수 있습니다.

그러면

$$a = 4^2 - 1^2 = 15,\quad b = 2(4)(1) = 8,\quad c = 4^2 + 1^2 = 17$$

이므로 $(8,15,17)$은 피타고라스 수입니다.

직접 확인해 보면,

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

가 됩니다.

이제 여기에 $2$를 곱하면 $(16,30,34)$를 얻습니다. 직각삼각형의 모양은 그대로이고, 변의 길이만 두 배가 됩니다.

이 예시는 두 가지 핵심 아이디어를 한 번에 보여 줍니다. 유클리드 공식은 피타고라스 수를 만들고, 배수 만들기는 더 많은 예를 만들어 냅니다.

피타고라스 수에서 자주 하는 실수

정수 조건을 잊는 경우

방정식 $a^2+b^2=c^2$는 실수해를 많이 가지지만, 피타고라스 수가 되려면 세 값이 모두 양의 정수여야 합니다.

성립하는 모든 수를 원시라고 부르는 경우

$(6,8,10)$은 올바른 피타고라스 수이지만, 세 수가 모두 $2$라는 공약수를 가지므로 원시가 아닙니다.

"피타고라스 수"와 "원시 피타고라스 수"를 혼동하는 경우

피타고라스 수는 양의 정수에 대해 $a^2+b^2=c^2$만 만족하면 됩니다. $m$과 $n$에 대한 추가 조건은 원시 피타고라스 수를 원할 때만 필요합니다.

가장 큰 수를 잘못 놓는 경우

피타고라스 수 $(a,b,c)$에서 $c$는 빗변이므로 가장 큰 수여야 합니다.

피타고라스 수가 유용한 때

피타고라스 수는 직각삼각형 기하, 좌표기하, 그리고 기초 정수론에서 자주 등장합니다. 또한 세 개의 정수가 직각삼각형을 만들 수 있는지 빠르게 확인하고 싶을 때도 유용합니다.

증명 중심의 수학에서는 이것이 디오판토스 방정식의 대표적인 예입니다. 즉, 모든 실수해가 아니라 정수해를 찾는 방정식이라는 뜻입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

유클리드 공식에 $m = 5$, $n = 2$를 넣고, 결과가 $a^2 + b^2 = c^2$를 만족하는지 확인해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면 피타고라스 정리를 살펴보며 같은 관계가 빠진 변의 길이를 구할 때 어떻게 쓰이는지도 확인해 보세요.