Théorème de Green — Formule et exemples corrigés

Le théorème de Green est le principal lien en 2D entre une intégrale curviligne le long d’une courbe fermée et une intégrale double sur la région qu’elle enferme. Dans sa forme usuelle de circulation,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Ici, $C$ est une courbe simple fermée orientée positivement, ce qui signifie généralement dans le sens trigonométrique, et $D$ est la région délimitée par $C$. Ce théorème est utile parce qu’un des deux côtés est souvent bien plus facile à calculer que l’autre.

Ce que signifie le théorème de Green

Le membre de gauche additionne l’effet tangent du champ lorsque l’on parcourt le bord. Le membre de droite additionne la rotation locale du champ sur toute la région.

L’idée essentielle est donc :

$$\text{circulation le long du bord} = \text{rotation scalaire totale à l’intérieur}.$$

C’est pour cela que le théorème de Green ressemble à une version 2D d’un schéma plus général en calcul vectoriel. Il transforme une information sur le bord en information à l’intérieur.

La formule et les conditions importantes

Pour un champ de vecteurs du plan $\mathbf{F} = (P,Q)$,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Cette forme standard est généralement présentée sous les conditions suivantes :

1. $C$ est une courbe simple fermée.
2. $C$ est orientée positivement, de sorte que la région reste à votre gauche lorsque vous parcourez le bord.
3. $P$ et $Q$ ont des dérivées partielles premières continues sur un ouvert contenant $D$.

Ces conditions ne sont pas là pour faire joli. Si le champ n’est pas assez régulier, ou s’il n’est même pas défini en un point de la région, on ne peut pas appliquer le théorème sans précaution.

Intuition : pourquoi l’intégrale sur le bord peut être égale à une intégrale sur l’aire

À l’intérieur de la région, on peut imaginer beaucoup de petites boucles. Les contributions le long des arêtes intérieures communes s’annulent deux à deux, car une petite boucle parcourt cette arête dans un sens et la boucle voisine dans le sens opposé.

Ce qui reste, c’est le bord extérieur. Cette idée d’annulation explique intuitivement pourquoi une quantité totale sur le bord peut être égale à une quantité accumulée sur tout l’intérieur.

Exemple corrigé sur le cercle unité

Soit

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

On prend pour $C$ le cercle unité $x^2 + y^2 = 1$, orienté dans le sens trigonométrique, et on note $D$ le disque unité qu’il délimite.

On veut calculer

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

Utiliser le théorème de Green

Ici,

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

Donc

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

Alors

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Le théorème de Green donne

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

Comme $D$ est le disque unité, son aire vaut $\pi$. Par conséquent,

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

Donc la valeur de l’intégrale curviligne est

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

Pourquoi cet exemple est intéressant

Le champ $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ est un champ de rotation pure autour de l’origine. Sa rotation scalaire dans le plan est constante :

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

Le théorème de Green dit donc que la circulation totale le long du bord doit être égale à $2$ fois l’aire intérieure. Sur le disque unité, cela donne $2\pi$.

Voilà le raccourci que fournit le théorème de Green. Une intégrale curviligne le long d’un bord courbe devient un simple calcul d’aire.

Un autre usage fréquent : calculer une aire

Le théorème de Green peut aussi aider à calculer une aire. Pour une courbe simple fermée orientée positivement,

$$\text{Area}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

Cela vient du choix de fonctions particulières $P$ et $Q$ telles que

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

C’est une astuce pratique lorsque le bord est plus facile à décrire que l’intérieur.

Erreurs fréquentes avec le théorème de Green

1. Oublier l’orientation. Le sens trigonométrique est l’orientation positive standard, et l’inverser change le signe.
2. Utiliser le théorème sur une courbe qui n’est pas fermée.
3. L’appliquer alors que le champ n’est pas assez régulier ou n’est pas défini en un point de la région.
4. Confondre la forme de circulation avec la forme de flux. Elles sont liées, mais ce n’est pas la même formule.
5. Se tromper de région après être passé de l’intégrale sur le bord à l’intégrale double.

Quand utilise-t-on le théorème de Green ?

Le théorème de Green apparaît chaque fois qu’un problème de calcul vectoriel en 2D est plus simple à traiter à l’intérieur que sur le bord, ou plus simple sur le bord qu’à l’intérieur.

Parmi les usages courants :

1. Transformer une intégrale curviligne difficile en une intégrale double plus simple.
2. Interpréter la circulation dans des problèmes de type écoulement des fluides.
3. Calculer une aire à partir d’une courbe frontière.
4. Développer l’intuition sur la rotation, le flux et des théorèmes ultérieurs comme le théorème de Stokes.

Essayez votre propre variante

Essayez le même champ $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ sur un cercle de rayon $R$ au lieu du rayon $1$. Comme la rotation scalaire vaut toujours $2$, le théorème de Green prédit

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

Faites le calcul vous-même et vérifiez que la réponse varie avec l’aire, pas seulement avec la longueur du bord. Si vous voulez un deuxième cas, inversez l’orientation et vérifiez que seul le signe change.