Satz von Green — Formel & gelöste Beispiele

Der Satz von Green ist in 2D die wichtigste Verbindung zwischen einem Kurvenintegral entlang einer geschlossenen Kurve und einem Doppelintegral über das von ihr eingeschlossene Gebiet. In der üblichen Zirkulationsform gilt

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Hier ist $C$ eine positiv orientierte einfache geschlossene Kurve, was meist gegen den Uhrzeigersinn bedeutet, und $D$ ist das von $C$ eingeschlossene Gebiet. Der Satz ist nützlich, weil eine der beiden Seiten oft deutlich leichter zu berechnen ist als die andere.

Was der Satz von Green bedeutet

Die linke Seite summiert den tangentialen Effekt des Feldes, während du den Rand entlanggehst. Die rechte Seite summiert die lokale Rotation des Feldes über das gesamte Gebiet.

Die Grundidee ist also:

$$\text{Zirkulation entlang des Randes} = \text{gesamte skalare Rotation im Inneren}.$$

Deshalb wirkt der Satz von Green wie eine 2D-Version eines größeren Musters in der Vektoranalysis. Er macht aus Randinformation Information über das Innere.

Die Formel und die wichtigen Voraussetzungen

Für ein Vektorfeld in der Ebene $\mathbf{F} = (P,Q)$ gilt

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Diese Standardform wird normalerweise unter folgenden Voraussetzungen eingeführt:

1. $C$ ist eine einfache geschlossene Kurve.
2. $C$ ist positiv orientiert, sodass das Gebiet links von dir bleibt, wenn du den Rand entlanggehst.
3. $P$ und $Q$ besitzen stetige erste partielle Ableitungen auf einem offenen Gebiet, das $D$ enthält.

Diese Voraussetzungen sind nicht nur Formalitäten. Wenn das Feld nicht glatt genug ist oder irgendwo im Inneren des Gebiets gar nicht definiert ist, darfst du den Satz nicht einfach blind anwenden.

Anschauung: warum ein Randintegral gleich einem Flächenintegral sein kann

Im Inneren des Gebiets kannst du dir viele kleine Schleifen vorstellen. Die Beiträge entlang gemeinsamer innerer Kanten heben sich paarweise auf, weil eine kleine Schleife diese Kante in die eine Richtung durchläuft und die benachbarte Schleife in die entgegengesetzte Richtung.

Übrig bleibt nur der äußere Rand. Diese Auslöschung ist die anschauliche Idee dahinter, warum eine Summe entlang des Randes gleich einer aufsummierten Größe über das ganze Innere sein kann.

Gelöstes Beispiel am Einheitskreis

Sei

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

Sei $C$ der Einheitskreis $x^2 + y^2 = 1$, gegen den Uhrzeigersinn orientiert, und $D$ die von ihm eingeschlossene Einheitskreisscheibe.

Wir wollen berechnen

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

Verwende den Satz von Green

Hier ist

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

Also gilt

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

Dann ist

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Mit dem Satz von Green folgt

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

Da $D$ die Einheitskreisscheibe ist, beträgt ihre Fläche $\pi$. Daher ist

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

Also ist der Wert des Kurvenintegrals

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

Warum dieses Beispiel gut ist

Das Feld $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ ist ein reines Rotationsfeld um den Ursprung. Seine skalare Rotation in der Ebene ist konstant:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

Der Satz von Green sagt also, dass die gesamte Zirkulation entlang des Randes gleich $2$ mal der eingeschlossenen Fläche sein sollte. Für die Einheitskreisscheibe wird daraus $2\pi$.

Genau das ist die Abkürzung, die dir der Satz von Green gibt. Ein Kurvenintegral entlang eines gekrümmten Randes wird zu einer einfachen Flächenberechnung.

Eine weitere häufige Anwendung: Flächeninhalt bestimmen

Mit dem Satz von Green kann man auch Flächeninhalte berechnen. Für eine positiv orientierte einfache geschlossene Kurve gilt

$$\text{Area}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

Das erhält man, indem man spezielle Funktionen $P$ und $Q$ so wählt, dass

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

Das ist ein praktischer Trick, wenn der Rand leichter zu beschreiben ist als das Innere.

Häufige Fehler beim Satz von Green

1. Die Orientierung vergessen. Gegen den Uhrzeigersinn ist die übliche positive Orientierung, und beim Umkehren ändert sich das Vorzeichen.
2. Den Satz auf eine Kurve anwenden, die nicht geschlossen ist.
3. Ihn anwenden, obwohl das Feld nicht glatt genug ist oder irgendwo im Inneren des Gebiets nicht definiert ist.
4. Die Zirkulationsform mit der Flussform verwechseln. Sie hängen zusammen, sind aber nicht dieselbe Formel.
5. Nach dem Wechsel vom Randintegral zum Doppelintegral das Gebiet falsch angeben.

Wann der Satz von Green verwendet wird

Der Satz von Green taucht immer dann auf, wenn ein Problem der 2D-Vektoranalysis im Inneren leichter ist als am Rand oder am Rand leichter ist als im Inneren.

Häufige Anwendungen sind:

1. Ein schwieriges Kurvenintegral in ein einfacheres Doppelintegral umwandeln.
2. Zirkulation in Aufgaben zur Strömungsmechanik interpretieren.
3. Flächeninhalt aus einer Randkurve berechnen.
4. Ein Gefühl für Rotation, Fluss und spätere Sätze wie den Satz von Stokes entwickeln.

Probiere deine eigene Variante

Probiere dasselbe Feld $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ auf einem Kreis mit Radius $R$ statt mit Radius $1$. Da die skalare Rotation immer noch $2$ ist, sagt der Satz von Green voraus:

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

Rechne es selbst nach und überprüfe, dass das Ergebnis mit der Fläche skaliert und nicht nur mit der Länge des Randes. Wenn du noch einen zweiten Fall möchtest, kehre die Orientierung um und bestätige, dass sich nur das Vorzeichen ändert.