Twierdzenie Greena — wzór i rozwiązane przykłady

Twierdzenie Greena to podstawowy dwuwymiarowy pomost między całką krzywoliniową po krzywej zamkniętej a całką podwójną po obszarze znajdującym się wewnątrz tej krzywej. W typowej postaci cyrkulacyjnej mamy

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Tutaj $C$ jest dodatnio zorientowaną prostą krzywą zamkniętą, co zwykle oznacza orientację przeciwną do ruchu wskazówek zegara, a $D$ jest obszarem ograniczonym przez $C$. Twierdzenie jest użyteczne, ponieważ jedna strona wzoru często jest znacznie łatwiejsza do obliczenia niż druga.

Co oznacza twierdzenie Greena

Lewa strona sumuje styczny wpływ pola podczas poruszania się po brzegu. Prawa strona sumuje lokalną rotację pola na całym obszarze.

Główna idea jest więc taka:

$$\text{cyrkulacja wokół brzegu} = \text{całkowity skalar rotacji wewnątrz}.$$

Dlatego twierdzenie Greena można traktować jako dwuwymiarową wersję większego schematu w analizie wektorowej. Zamienia ono informację z brzegu na informację z wnętrza.

Wzór i warunki, które naprawdę mają znaczenie

Dla pola wektorowego na płaszczyźnie $\mathbf{F} = (P,Q)$ mamy

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Ta standardowa postać jest zwykle wprowadzana przy następujących warunkach:

1. $C$ jest prostą krzywą zamkniętą.
2. $C$ ma orientację dodatnią, więc podczas obchodzenia brzegu obszar pozostaje po lewej stronie.
3. $P$ i $Q$ mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze otwartym zawierającym $D$.

Te warunki nie są tylko formalnością. Jeśli pole nie jest dostatecznie gładkie albo nie jest nawet określone w pewnym punkcie wewnątrz obszaru, nie można stosować twierdzenia bez zastanowienia.

Intuicja: dlaczego całka po brzegu może być równa całce po polu

Wewnątrz obszaru można wyobrazić sobie wiele małych pętli. Wkłady wzdłuż wspólnych krawędzi wewnętrznych znoszą się parami, ponieważ jedna mała pętla przechodzi tę krawędź w jednym kierunku, a sąsiednia w przeciwnym.

Pozostaje tylko zewnętrzny brzeg. Ta idea znoszenia się wyjaśnia intuicyjnie, dlaczego suma po brzegu może być równa wielkości zsumowanej po całym wnętrzu.

Rozwiązany przykład na okręgu jednostkowym

Niech

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

Weźmy $C$ jako okrąg jednostkowy $x^2 + y^2 = 1$ zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a $D$ jako ograniczony przez niego dysk jednostkowy.

Chcemy obliczyć

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

Zastosuj twierdzenie Greena

Tutaj

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

Zatem

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

Wtedy

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Twierdzenie Greena daje

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

Ponieważ $D$ jest dyskiem jednostkowym, jego pole wynosi $\pi$. Zatem

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

A więc wartość całki krzywoliniowej to

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

Dlaczego ten przykład jest dobry

Pole $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ jest polem czystego obrotu wokół początku układu. Jego skalar rotacji na płaszczyźnie jest stały:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

Twierdzenie Greena mówi więc, że całkowita cyrkulacja wokół brzegu powinna być równa $2$ razy pole obszaru wewnątrz. Dla dysku jednostkowego daje to $2\pi$.

To właśnie skrót, jaki daje twierdzenie Greena. Całka krzywoliniowa po zakrzywionym brzegu zamienia się w proste obliczenie pola.

Drugie częste zastosowanie: wyznaczanie pola

Twierdzenie Greena może też pomóc w obliczaniu pola obszaru. Dla dodatnio zorientowanej prostej krzywej zamkniętej mamy

$$\text{Pole}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

Wynika to z wyboru specjalnych funkcji $P$ i $Q$ takich, że

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

To praktyczny trik, gdy brzeg jest łatwiejszy do opisania niż wnętrze.

Typowe błędy przy twierdzeniu Greena

1. Zapominanie o orientacji. Standardową orientacją dodatnią jest kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara, a jej odwrócenie zmienia znak.
2. Stosowanie twierdzenia do krzywej, która nie jest zamknięta.
3. Używanie go wtedy, gdy pole nie jest dostatecznie gładkie albo nie jest określone w pewnym miejscu wewnątrz obszaru.
4. Mylenie postaci cyrkulacyjnej z postacią strumieniową. Są ze sobą związane, ale nie są tym samym wzorem.
5. Błędne opisanie obszaru po przejściu od całki po brzegu do całki podwójnej.

Kiedy stosuje się twierdzenie Greena

Twierdzenie Greena pojawia się wszędzie tam, gdzie zadanie z analizy wektorowej w 2D jest łatwiejsze do rozwiązania wewnątrz obszaru niż na jego brzegu albo odwrotnie.

Typowe zastosowania obejmują:

1. Zamianę trudnej całki krzywoliniowej na łatwiejszą całkę podwójną.
2. Interpretację cyrkulacji w zadaniach inspirowanych przepływem płynów.
3. Obliczanie pola z krzywej brzegowej.
4. Budowanie intuicji dla rotacji, strumienia i późniejszych twierdzeń, takich jak twierdzenie Stokesa.

Spróbuj własnej wersji

Wypróbuj to samo pole $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ na okręgu o promieniu $R$ zamiast promienia $1$. Ponieważ skalar rotacji nadal wynosi $2$, twierdzenie Greena przewiduje

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

Oblicz to samodzielnie i sprawdź, że odpowiedź skaluje się z polem obszaru, a nie tylko z długością brzegu. Jeśli chcesz drugi przypadek, odwróć orientację i potwierdź, że zmienia się tylko znak.