Teorema di Green — Formula ed esempi svolti

Il teorema di Green è il principale ponte bidimensionale tra un integrale di linea lungo una curva chiusa e un integrale doppio sulla regione interna. Nella consueta forma di circuitazione,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Qui $C$ è una curva semplice chiusa con orientazione positiva, che di solito significa antioraria, e $D$ è la regione racchiusa da $C$. Il teorema è utile perché spesso uno dei due lati è molto più facile da calcolare dell'altro.

Che cosa significa il teorema di Green

Il lato sinistro somma l'effetto tangenziale del campo mentre ti muovi lungo il bordo. Il lato destro somma la rotazione locale del campo su tutta la regione.

Quindi l'idea centrale è:

$$\text{circuitazione lungo il bordo} = \text{rotore scalare totale all'interno}.$$

Per questo il teorema di Green sembra una versione bidimensionale di uno schema più ampio del calcolo vettoriale. Trasforma informazioni sul bordo in informazioni sull'interno.

La formula e le condizioni che contano

Per un campo vettoriale piano $\mathbf{F} = (P,Q)$,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Questa forma standard viene di solito introdotta sotto le seguenti condizioni:

1. $C$ è una curva semplice chiusa.
2. $C$ ha orientazione positiva, quindi la regione resta alla tua sinistra mentre percorri il bordo.
3. $P$ e $Q$ hanno derivate parziali prime continue su un aperto che contiene $D$.

Queste condizioni non sono un dettaglio secondario. Se il campo non è abbastanza regolare, oppure non è nemmeno definito in qualche punto interno alla regione, non puoi applicare il teorema alla cieca.

Intuizione: perché un integrale sul bordo può essere uguale a un integrale di area

All'interno della regione puoi immaginare molti piccoli circuiti. I contributi lungo i lati interni condivisi si cancellano a coppie, perché un piccolo circuito percorre quel lato in un verso e quello vicino lo percorre nel verso opposto.

Quello che resta è il bordo esterno. Questa idea di cancellazione spiega intuitivamente perché un totale lungo il contorno possa essere uguale a una quantità accumulata su tutto l'interno.

Esempio svolto sulla circonferenza unitaria

Sia

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

Prendi $C$ come la circonferenza unitaria $x^2 + y^2 = 1$, orientata in senso antiorario, e sia $D$ il disco unitario che essa racchiude.

Vogliamo calcolare

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

Applica il teorema di Green

Qui

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

Quindi

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

Allora

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Il teorema di Green dà

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

Poiché $D$ è il disco unitario, la sua area è $\pi$. Pertanto

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

Quindi il valore dell'integrale di linea è

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

Perché questo esempio è utile

Il campo $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ è un campo di pura rotazione attorno all'origine. Il suo rotore scalare nel piano è costante:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

Quindi il teorema di Green dice che la circuitazione totale lungo il bordo deve essere $2$ volte l'area interna. Sul disco unitario, questo diventa $2\pi$.

Questa è la scorciatoia che ti offre il teorema di Green. Un integrale di linea lungo un bordo curvo diventa un semplice calcolo di area.

Un secondo uso comune: calcolare l'area

Il teorema di Green può anche aiutare a calcolare un'area. Per una curva semplice chiusa con orientazione positiva,

$$\text{Area}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

Questo deriva dalla scelta di particolari funzioni $P$ e $Q$ tali che

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

È un trucco pratico quando il bordo è più facile da descrivere rispetto all'interno.

Errori comuni con il teorema di Green

1. Dimenticare l'orientazione. Il verso antiorario è l'orientazione positiva standard, e invertirlo cambia il segno.
2. Usare il teorema su una curva che non è chiusa.
3. Applicarlo quando il campo non è abbastanza regolare oppure non è definito in qualche punto interno alla regione.
4. Confondere la forma di circuitazione con la forma di flusso. Sono collegate, ma non sono la stessa formula.
5. Descrivere male la regione dopo essere passati dall'integrale sul bordo all'integrale doppio.

Quando si usa il teorema di Green

Il teorema di Green compare ogni volta che un problema di calcolo vettoriale in 2D è più semplice all'interno che sul bordo, oppure più semplice sul bordo che all'interno.

Gli usi più comuni includono:

1. Trasformare un integrale di linea difficile in un integrale doppio più semplice.
2. Interpretare la circuitazione in problemi simili a quelli di flusso dei fluidi.
3. Calcolare l'area a partire da una curva di bordo.
4. Costruire intuizione su rotore, flusso e teoremi successivi come il teorema di Stokes.

Prova una tua variante

Prova lo stesso campo $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ su una circonferenza di raggio $R$ invece che di raggio $1$. Poiché il rotore scalare è ancora $2$, il teorema di Green prevede

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

Svolgi il calcolo da solo e verifica che la risposta cresce con l'area, non solo con la lunghezza del bordo. Se vuoi un secondo caso, inverti l'orientazione e conferma che cambia solo il segno.