ทฤษฎีบทของกรีน — สูตรและตัวอย่างโจทย์ที่แก้แล้ว

ทฤษฎีบทของกรีนเป็นสะพานหลักใน 2 มิติที่เชื่อมระหว่างปริพันธ์ตามเส้นรอบเส้นโค้งปิดกับปริพันธ์สองชั้นเหนือบริเวณด้านใน ในรูปแบบการไหลวนที่ใช้กันทั่วไป

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

ที่นี่ $C$ คือเส้นโค้งปิดอย่างง่ายที่มีการวางทิศทางแบบบวก ซึ่งโดยทั่วไปหมายถึงทวนเข็มนาฬิกา และ $D$ คือบริเวณที่ถูกล้อมโดย $C$ ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์เพราะบ่อยครั้งด้านหนึ่งคำนวณได้ง่ายกว่าอีกด้านมาก

ความหมายของทฤษฎีบทของกรีน

ด้านซ้ายคือการรวมผลของสนามในแนวสัมผัสขณะที่คุณเคลื่อนที่ไปรอบขอบเขต ด้านขวาคือการรวมการหมุนเฉพาะที่ของสนามทั่วทั้งบริเวณ

ดังนั้นแนวคิดหลักคือ

$$\text{การไหลวนรอบขอบ} = \text{สเกลาร์เคิร์ลรวมภายใน}.$$

นี่จึงเป็นเหตุผลที่ทฤษฎีบทของกรีนให้ความรู้สึกเหมือนเป็นเวอร์ชัน 2 มิติของรูปแบบที่ใหญ่กว่าในแคลคูลัสเวกเตอร์ มันเปลี่ยนข้อมูลบนขอบเขตให้เป็นข้อมูลภายในบริเวณ

สูตรและเงื่อนไขที่สำคัญ

สำหรับสนามเวกเตอร์บนระนาบ $\mathbf{F} = (P,Q)$,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

รูปแบบมาตรฐานนี้มักถูกแนะนำภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

1. $C$ เป็นเส้นโค้งปิดอย่างง่าย
2. $C$ มีการวางทิศทางแบบบวก ดังนั้นเมื่อคุณเดินไปตามขอบเขต บริเวณจะอยู่ทางซ้ายมือเสมอ
3. $P$ และ $Q$ มีอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งต่อเนื่องบนบริเวณเปิดที่ครอบคลุม $D$

เงื่อนไขเหล่านี้ไม่ใช่แค่รายละเอียดประกอบ ถ้าสนามไม่เรียบพอ หรือไม่ได้ถูกนิยามไว้บางจุดภายในบริเวณ คุณไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทนี้แบบไม่ตรวจสอบได้

สัญชาตญาณ: ทำไมปริพันธ์ตามเส้นขอบจึงเท่ากับปริพันธ์เชิงพื้นที่ได้

ภายในบริเวณ คุณอาจนึกภาพเป็นลูปเล็ก ๆ จำนวนมาก ผลรวมตามขอบภายในที่ใช้ร่วมกันจะหักล้างกันเป็นคู่ เพราะลูปเล็กหนึ่งวิ่งผ่านขอบนั้นในทิศทางหนึ่ง ส่วนลูปข้างเคียงวิ่งผ่านในทิศตรงกันข้าม

สิ่งที่เหลืออยู่คือขอบเขตด้านนอก แนวคิดเรื่องการหักล้างนี้คือสัญชาตญาณเบื้องหลังว่าทำไมผลรวมรอบขอบจึงเท่ากับปริมาณสะสมทั่วทั้งภายในได้

ตัวอย่างที่แก้แล้วบนวงกลมหนึ่งหน่วย

ให้

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

กำหนดให้ $C$ เป็นวงกลมหนึ่งหน่วย $x^2 + y^2 = 1$ โดยมีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา และให้ $D$ เป็นจานหนึ่งหน่วยที่มันล้อมไว้

เราต้องการคำนวณ

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

ใช้ทฤษฎีบทของกรีน

ที่นี่

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

ดังนั้น

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

จึงได้ว่า

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

ทฤษฎีบทของกรีนให้ว่า

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

เนื่องจาก $D$ เป็นจานหนึ่งหน่วย พื้นที่ของมันคือ $\pi$ ดังนั้น

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

ดังนั้นค่าของปริพันธ์ตามเส้นคือ

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

ทำไมตัวอย่างนี้จึงเป็นตัวอย่างที่ดี

สนาม $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ เป็นสนามการหมุนล้วนรอบจุดกำเนิด สเกลาร์เคิร์ลของมันบนระนาบมีค่าคงที่:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

ดังนั้นทฤษฎีบทของกรีนจึงบอกว่าการไหลวนรวมรอบขอบเขตควรเท่ากับ $2$ คูณพื้นที่ด้านใน สำหรับจานหนึ่งหน่วย จึงได้เป็น $2\pi$

นี่คือทางลัดที่ทฤษฎีบทของกรีนมอบให้คุณ ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบเขตโค้งกลายเป็นการคำนวณพื้นที่อย่างง่าย

การใช้อีกแบบที่พบบ่อย: การหาพื้นที่

ทฤษฎีบทของกรีนยังช่วยคำนวณพื้นที่ได้ด้วย สำหรับเส้นโค้งปิดอย่างง่ายที่มีการวางทิศทางแบบบวก

$$\text{Area}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

สิ่งนี้มาจากการเลือกฟังก์ชันพิเศษ $P$ และ $Q$ ให้

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

นี่เป็นเทคนิคที่ใช้ได้จริงเมื่อขอบเขตอธิบายได้ง่ายกว่าบริเวณด้านใน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับทฤษฎีบทของกรีน

1. ลืมเรื่องทิศทาง ทวนเข็มนาฬิกาเป็นทิศทางบวกมาตรฐาน และถ้ากลับทิศ เครื่องหมายจะเปลี่ยน
2. ใช้ทฤษฎีบทกับเส้นโค้งที่ไม่ปิด
3. นำไปใช้ทั้งที่สนามไม่เรียบพอ หรือไม่ได้ถูกนิยามไว้บางจุดภายในบริเวณ
4. สับสนระหว่างรูปแบบการไหลวนกับรูปแบบฟลักซ์ ทั้งสองเกี่ยวข้องกัน แต่ไม่ใช่สูตรเดียวกัน
5. กำหนดบริเวณผิดหลังจากเปลี่ยนจากปริพันธ์ตามเส้นขอบเป็นปริพันธ์สองชั้น

ทฤษฎีบทของกรีนใช้เมื่อใด

ทฤษฎีบทของกรีนปรากฏขึ้นทุกครั้งที่โจทย์แคลคูลัสเวกเตอร์ 2 มิติง่ายกว่าหากมองจากด้านในแทนด้านขอบ หรือบางครั้งด้านขอบง่ายกว่าด้านใน

การใช้งานที่พบบ่อย ได้แก่:

1. เปลี่ยนปริพันธ์ตามเส้นที่ยากให้เป็นปริพันธ์สองชั้นที่ง่ายกว่า
2. ตีความการไหลวนในโจทย์ลักษณะการไหลของของไหล
3. คำนวณพื้นที่จากเส้นโค้งขอบเขต
4. สร้างความเข้าใจเรื่องเคิร์ล ฟลักซ์ และทฤษฎีบทในภายหลัง เช่น ทฤษฎีบทของสโตกส์

ลองทำเวอร์ชันของคุณเอง

ลองใช้สนามเดียวกัน $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ กับวงกลมรัศมี $R$ แทนรัศมี $1$ เนื่องจากสเกลาร์เคิร์ลยังคงเป็น $2$ ทฤษฎีบทของกรีนจึงทำนายว่า

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

ลองคำนวณด้วยตัวเองและตรวจสอบว่าคำตอบแปรตามพื้นที่ ไม่ใช่แค่ตามความยาวของขอบเขตเท่านั้น ถ้าต้องการอีกกรณีหนึ่ง ให้กลับทิศทางแล้วตรวจสอบว่าจะมีเพียงเครื่องหมายที่เปลี่ยนไป