Θεώρημα του Green — Τύπος και λυμένα παραδείγματα

Το θεώρημα του Green είναι η βασική δισδιάστατη γέφυρα ανάμεσα σε ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γύρω από μια κλειστή καμπύλη και σε ένα διπλό ολοκλήρωμα πάνω στη χωρία που βρίσκεται στο εσωτερικό της. Στη συνηθισμένη μορφή κυκλοφορίας,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Εδώ το $C$ είναι μια θετικά προσανατολισμένη απλή κλειστή καμπύλη, που συνήθως σημαίνει αριστερόστροφη, και το $D$ είναι η χωρία που περικλείεται από το $C$. Το θεώρημα είναι χρήσιμο επειδή συχνά η μία πλευρά υπολογίζεται πολύ πιο εύκολα από την άλλη.

Τι σημαίνει το θεώρημα του Green

Το αριστερό μέλος αθροίζει την εφαπτομενική επίδραση του πεδίου καθώς κινείσαι γύρω από το σύνορο. Το δεξί μέλος αθροίζει την τοπική περιστροφή του πεδίου σε όλη τη χωρία.

Άρα η βασική ιδέα είναι:

$$\text{κυκλοφορία γύρω από το σύνορο} = \text{συνολικό βαθμωτό στροβίλισμα στο εσωτερικό}.$$

Γι’ αυτό το θεώρημα του Green μοιάζει με μια δισδιάστατη εκδοχή ενός γενικότερου μοτίβου στον διανυσματικό λογισμό. Μετατρέπει πληροφορία από το σύνορο σε πληροφορία για το εσωτερικό.

Ο τύπος και οι προϋποθέσεις που έχουν σημασία

Για ένα διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο $\mathbf{F} = (P,Q)$,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Αυτή η τυπική μορφή συνήθως παρουσιάζεται κάτω από τις εξής προϋποθέσεις:

1. Το $C$ είναι μια απλή κλειστή καμπύλη.
2. Το $C$ είναι θετικά προσανατολισμένο, ώστε η χωρία να μένει στα αριστερά σου καθώς διατρέχεις το σύνορο.
3. Τα $P$ και $Q$ έχουν συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους σε μια ανοιχτή περιοχή που περιέχει το $D$.

Αυτές οι προϋποθέσεις δεν είναι διακοσμητικές. Αν το πεδίο δεν είναι αρκετά ομαλό ή αν δεν ορίζεται κάπου μέσα στη χωρία, δεν μπορείς να εφαρμόσεις το θεώρημα μηχανικά.

Διαίσθηση: γιατί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μπορεί να ισούται με ένα ολοκλήρωμα επιφάνειας

Μέσα στη χωρία, μπορείς να φανταστείς πολλά μικρά βρόχια. Οι συνεισφορές κατά μήκος των κοινών εσωτερικών ακμών ακυρώνονται ανά ζεύγη, επειδή ένα μικρό βρόχι διατρέχει αυτή την ακμή προς τη μία κατεύθυνση και το γειτονικό του προς την αντίθετη.

Αυτό που απομένει είναι το εξωτερικό σύνορο. Αυτή η ιδέα της ακύρωσης δίνει τη διαίσθηση για το γιατί ένα συνολικό μέγεθος πάνω στο σύνορο μπορεί να ισούται με ένα συσσωρευμένο μέγεθος σε όλο το εσωτερικό.

Λυμένο παράδειγμα στον μοναδιαίο κύκλο

Έστω

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

Πάρε το $C$ να είναι ο μοναδιαίος κύκλος $x^2 + y^2 = 1$, με αριστερόστροφο προσανατολισμό, και έστω $D$ ο μοναδιαίος δίσκος που περικλείει.

Θέλουμε να υπολογίσουμε

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

Χρήση του θεωρήματος του Green

Εδώ

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

Άρα

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

Τότε

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Το θεώρημα του Green δίνει

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

Εφόσον το $D$ είναι ο μοναδιαίος δίσκος, το εμβαδόν του είναι $\pi$. Επομένως

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

Άρα η τιμή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος είναι

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

Γιατί αυτό είναι καλό παράδειγμα

Το πεδίο $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ είναι ένα καθαρά περιστροφικό πεδίο γύρω από την αρχή. Το βαθμωτό στροβίλισμά του στο επίπεδο είναι σταθερό:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

Άρα το θεώρημα του Green λέει ότι η συνολική κυκλοφορία γύρω από το σύνορο πρέπει να είναι $2$ φορές το εμβαδόν στο εσωτερικό. Στον μοναδιαίο δίσκο, αυτό γίνεται $2\pi$.

Αυτή είναι η συντόμευση που σου δίνει το θεώρημα του Green. Ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γύρω από ένα καμπύλο σύνορο μετατρέπεται σε έναν απλό υπολογισμό εμβαδού.

Μια δεύτερη συνηθισμένη χρήση: υπολογισμός εμβαδού

Το θεώρημα του Green μπορεί επίσης να βοηθήσει στον υπολογισμό εμβαδού. Για μια θετικά προσανατολισμένη απλή κλειστή καμπύλη,

$$\text{Area}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

Αυτό προκύπτει αν επιλέξουμε ειδικές συναρτήσεις $P$ και $Q$ έτσι ώστε

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

Είναι ένα πρακτικό τέχνασμα όταν το σύνορο περιγράφεται πιο εύκολα από ό,τι το εσωτερικό.

Συχνά λάθη στο θεώρημα του Green

1. Ξεχνάς τον προσανατολισμό. Ο αριστερόστροφος είναι ο τυπικός θετικός προσανατολισμός, και αν τον αντιστρέψεις αλλάζει το πρόσημο.
2. Χρησιμοποιείς το θεώρημα σε καμπύλη που δεν είναι κλειστή.
3. Το εφαρμόζεις όταν το πεδίο δεν είναι αρκετά ομαλό ή δεν ορίζεται κάπου μέσα στη χωρία.
4. Μπερδεύεις τη μορφή κυκλοφορίας με τη μορφή ροής. Συνδέονται, αλλά δεν είναι ο ίδιος τύπος.
5. Περιγράφεις λάθος τη χωρία αφού περάσεις από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στο διπλό ολοκλήρωμα.

Πότε χρησιμοποιείται το θεώρημα του Green

Το θεώρημα του Green εμφανίζεται κάθε φορά που ένα πρόβλημα διανυσματικού λογισμού σε 2D είναι ευκολότερο στο εσωτερικό παρά στο σύνορο, ή ευκολότερο στο σύνορο παρά στο εσωτερικό.

Συνηθισμένες χρήσεις είναι:

1. Η μετατροπή ενός δύσκολου επικαμπύλιου ολοκληρώματος σε ένα ευκολότερο διπλό ολοκλήρωμα.
2. Η ερμηνεία της κυκλοφορίας σε προβλήματα τύπου ροής ρευστού.
3. Ο υπολογισμός εμβαδού από μια συνοριακή καμπύλη.
4. Η ανάπτυξη διαίσθησης για το στροβίλισμα, τη ροή και μεταγενέστερα θεωρήματα όπως το θεώρημα του Stokes.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Δοκίμασε το ίδιο πεδίο $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ σε κύκλο ακτίνας $R$ αντί για ακτίνα $1$. Αφού το βαθμωτό στροβίλισμα παραμένει $2$, το θεώρημα του Green προβλέπει

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

Υπολόγισέ το μόνος σου και έλεγξε ότι η απάντηση κλιμακώνεται με το εμβαδόν, όχι μόνο με το μήκος του συνόρου. Αν θέλεις και μια δεύτερη περίπτωση, αντιστροφή του προσανατολισμού και επιβεβαίωσε ότι αλλάζει μόνο το πρόσημο.