그린 정리 — 공식과 풀이 예제

그린 정리는 닫힌 곡선을 따라 하는 선적분과 그 내부 영역에서의 이중적분을 연결하는 2차원 벡터해석의 핵심 정리입니다. 보통 순환 형태에서는 다음과 같습니다.

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

여기서 $C$는 양의 방향을 가진 단순 폐곡선이고, 보통 반시계방향을 뜻합니다. $D$는 $C$가 둘러싼 영역입니다. 이 정리가 유용한 이유는 한쪽이 다른 쪽보다 계산이 훨씬 쉬운 경우가 많기 때문입니다.

그린 정리가 의미하는 것

왼쪽은 경계를 따라 움직일 때 벡터장이 접선 방향으로 미치는 효과를 모두 더한 것입니다. 오른쪽은 영역 전체에서 벡터장의 국소적인 회전을 전부 합한 것입니다.

즉, 핵심 아이디어는 다음과 같습니다.

$$\text{경계를 따라 도는 순환} = \text{내부 전체의 스칼라 컬}.$$

그래서 그린 정리는 벡터해석에서 더 큰 패턴의 2차원 버전처럼 느껴집니다. 경계의 정보를 내부의 정보로 바꿔 주기 때문입니다.

공식과 중요한 조건

평면 벡터장 $\mathbf{F} = (P,Q)$에 대해,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

이 표준 형태는 보통 다음 조건 아래에서 소개됩니다.

1. $C$는 단순 폐곡선이다.
2. $C$는 양의 방향을 가지며, 경계를 따라 걸을 때 영역이 항상 왼쪽에 오도록 돈다.
3. $P$와 $Q$는 $D$를 포함하는 열린 영역에서 연속인 1차 편도함수를 가진다.

이 조건들은 형식적인 장식이 아닙니다. 벡터장이 충분히 매끄럽지 않거나, 영역 내부 어딘가에서 정의조차 되지 않으면 정리를 그대로 적용할 수 없습니다.

직관: 왜 경계 적분이 넓이 적분과 같아질까

영역 내부를 아주 작은 고리들이 많이 모여 있다고 생각해 볼 수 있습니다. 서로 맞닿은 내부 변을 따라 생기는 기여는 쌍으로 상쇄됩니다. 한 작은 고리는 그 변을 한 방향으로 지나가고, 이웃한 고리는 반대 방향으로 지나가기 때문입니다.

결국 남는 것은 바깥 경계뿐입니다. 이런 상쇄 아이디어가 바로 경계를 따라 돈 전체량이 내부 전체에 걸친 누적량과 같아지는 이유에 대한 직관입니다.

단위원에서의 풀이 예제

다음을 두겠습니다.

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

$C$를 반시계방향의 단위원 $x^2 + y^2 = 1$로 두고, $D$를 그 안의 단위원판이라고 하겠습니다.

우리가 구하려는 것은

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

그린 정리 사용하기

여기서

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

따라서

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

그러면

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

그린 정리에 의해

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

$D$는 단위원판이므로 넓이는 $\pi$입니다. 따라서

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

그러므로 선적분의 값은

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

왜 이 예제가 좋은가

벡터장 $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$는 원점 주위의 순수한 회전장입니다. 이 평면에서의 스칼라 컬은 상수입니다.

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

따라서 그린 정리는 경계를 따라 도는 전체 순환이 내부 넓이의 $2$배가 되어야 한다고 말합니다. 단위원판에서는 그것이 $2\pi$가 됩니다.

이것이 그린 정리가 주는 지름길입니다. 곡선 경계를 따라 하는 선적분이 간단한 넓이 계산으로 바뀝니다.

자주 쓰이는 두 번째 활용: 넓이 구하기

그린 정리는 넓이를 구하는 데도 도움이 됩니다. 양의 방향을 가진 단순 폐곡선에 대해,

$$\text{Area}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

이 식은 다음을 만족하도록 특별한 함수 $P$와 $Q$를 선택해서 얻습니다.

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

내부보다 경계를 설명하기 쉬운 경우에 특히 실용적인 방법입니다.

그린 정리에서 자주 하는 실수

1. 방향을 잊는 것. 표준적인 양의 방향은 반시계방향이며, 방향을 바꾸면 부호도 바뀝니다.
2. 닫혀 있지 않은 곡선에 정리를 적용하는 것.
3. 벡터장이 충분히 매끄럽지 않거나 영역 내부 어딘가에서 정의되지 않는데도 적용하는 것.
4. 순환 형태와 플럭스 형태를 혼동하는 것. 서로 관련은 있지만 같은 공식은 아닙니다.
5. 경계 적분에서 이중적분으로 바꾼 뒤 영역을 잘못 잡는 것.

그린 정리는 언제 쓰일까

그린 정리는 2차원 벡터해석 문제에서 경계보다 내부가 더 쉬울 때, 또는 내부보다 경계가 더 쉬울 때 등장합니다.

대표적인 활용은 다음과 같습니다.

1. 어려운 선적분을 더 쉬운 이중적분으로 바꾸기.
2. 유체 흐름 같은 문제에서 순환을 해석하기.
3. 경계 곡선으로부터 넓이 계산하기.
4. 컬, 플럭스, 그리고 이후의 스토크스 정리 같은 정리에 대한 직관을 기르기.

직접 변형해서 해 보기

같은 벡터장 $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$를 반지름 $1$ 대신 반지름 $R$인 원에 적용해 보세요. 스칼라 컬은 여전히 $2$이므로, 그린 정리는 다음을 예측합니다.

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

직접 계산해 보고, 답이 단지 경계의 길이가 아니라 넓이에 비례한다는 것을 확인해 보세요. 한 가지를 더 해 보고 싶다면 방향을 반대로 바꿔서 부호만 바뀌는지도 확인해 보세요.