Teorema Green — Rumus & Contoh Soal

Teorema Green adalah penghubung utama di 2D antara integral garis di sepanjang kurva tertutup dan integral lipat dua pada daerah di dalamnya. Dalam bentuk sirkulasi yang umum,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Di sini $C$ adalah kurva tertutup sederhana berorientasi positif, yang biasanya berarti berlawanan arah jarum jam, dan $D$ adalah daerah yang dibatasi oleh $C$. Teorema ini berguna karena salah satu sisinya sering jauh lebih mudah dihitung daripada sisi yang lain.

Apa arti teorema Green

Sisi kiri menjumlahkan efek tangensial medan saat Anda bergerak mengelilingi batas. Sisi kanan menjumlahkan rotasi lokal medan di seluruh daerah.

Jadi gagasan intinya adalah:

$$\text{sirkulasi di sepanjang batas} = \text{total curl skalar di dalam}.$$

Itulah sebabnya teorema Green terasa seperti versi 2D dari pola yang lebih besar dalam kalkulus vektor. Teorema ini mengubah informasi pada batas menjadi informasi di bagian dalam.

Rumus dan syarat yang penting

Untuk medan vektor bidang $\mathbf{F} = (P,Q)$,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Bentuk standar ini biasanya diperkenalkan dengan syarat-syarat berikut:

1. $C$ adalah kurva tertutup sederhana.
2. $C$ berorientasi positif, sehingga daerah selalu berada di sebelah kiri Anda saat berjalan menyusuri batas.
3. $P$ dan $Q$ memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada daerah terbuka yang memuat $D$.

Syarat-syarat itu bukan sekadar formalitas. Jika medannya tidak cukup mulus, atau bahkan tidak terdefinisi di suatu titik di dalam daerah, Anda tidak bisa menerapkan teorema ini begitu saja.

Intuisi: mengapa integral batas bisa sama dengan integral luas

Di dalam daerah, Anda bisa membayangkan banyak loop kecil. Kontribusi di sepanjang sisi-sisi dalam yang saling berbagi akan saling meniadakan berpasangan, karena satu loop kecil menelusuri sisi itu ke satu arah dan loop tetangganya menelusurinya ke arah sebaliknya.

Yang tersisa adalah batas terluar. Gagasan saling hapus inilah yang memberi intuisi mengapa total di sepanjang tepi bisa sama dengan besaran terakumulasi di seluruh bagian dalam.

Contoh soal pada lingkaran satuan

Misalkan

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

Ambil $C$ sebagai lingkaran satuan $x^2 + y^2 = 1$, berorientasi berlawanan arah jarum jam, dan misalkan $D$ adalah cakram satuan yang dibatasinya.

Kita ingin menghitung

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

Gunakan teorema Green

Di sini

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

Maka

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

Jadi

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Teorema Green memberi

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

Karena $D$ adalah cakram satuan, luasnya adalah $\pi$. Oleh karena itu

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

Jadi nilai integral garisnya adalah

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

Mengapa contoh ini bagus

Medan $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ adalah medan rotasi murni terhadap titik asal. Curl skalarnya pada bidang bernilai konstan:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

Jadi teorema Green menyatakan bahwa total sirkulasi di sepanjang batas harus sama dengan $2$ kali luas daerah di dalamnya. Pada cakram satuan, hasilnya menjadi $2\pi$.

Itulah jalan pintas yang diberikan teorema Green. Integral garis di sepanjang batas lengkung berubah menjadi perhitungan luas yang sederhana.

Penggunaan umum kedua: mencari luas

Teorema Green juga dapat membantu menghitung luas. Untuk kurva tertutup sederhana berorientasi positif,

$$\text{Area}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

Ini berasal dari memilih fungsi khusus $P$ dan $Q$ sehingga

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

Ini adalah trik praktis ketika batas lebih mudah dideskripsikan daripada bagian dalam daerah.

Kesalahan umum pada teorema Green

1. Lupa orientasi. Berlawanan arah jarum jam adalah orientasi positif standar, dan jika dibalik tandanya ikut berubah.
2. Menggunakan teorema pada kurva yang tidak tertutup.
3. Menerapkannya saat medan tidak cukup mulus atau tidak terdefinisi di suatu titik di dalam daerah.
4. Tertukar antara bentuk sirkulasi dan bentuk fluks. Keduanya berhubungan, tetapi bukan rumus yang sama.
5. Salah menentukan daerah setelah beralih dari integral batas ke integral lipat dua.

Kapan teorema Green digunakan

Teorema Green muncul ketika soal kalkulus vektor 2D lebih mudah dikerjakan dari bagian dalam daripada dari batas, atau lebih mudah dari batas daripada dari bagian dalam.

Penggunaan yang umum meliputi:

1. Mengubah integral garis yang sulit menjadi integral lipat dua yang lebih mudah.
2. Menafsirkan sirkulasi dalam soal bergaya aliran fluida.
3. Menghitung luas dari kurva batas.
4. Membangun intuisi untuk curl, fluks, dan teorema lanjutan seperti teorema Stokes.

Coba versi Anda sendiri

Coba medan yang sama $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ pada lingkaran berjari-jari $R$ alih-alih berjari-jari $1$. Karena curl skalarnya tetap $2$, teorema Green memprediksi

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

Kerjakan sendiri dan periksa bahwa jawabannya bertambah sesuai luas, bukan hanya sesuai panjang batas. Jika ingin kasus kedua, balik orientasinya dan pastikan hanya tandanya yang berubah.