Teorema de Green — Fórmula e Exemplos Resolvidos

O teorema de Green é a principal ponte em 2D entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada e uma integral dupla sobre a região em seu interior. Na forma usual de circulação,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Aqui, $C$ é uma curva fechada simples com orientação positiva, o que normalmente significa sentido anti-horário, e $D$ é a região delimitada por $C$. O teorema é útil porque um dos lados costuma ser muito mais fácil de calcular do que o outro.

O que o teorema de Green significa

O lado esquerdo soma o efeito tangencial do campo à medida que você percorre a fronteira. O lado direito soma a rotação local do campo em toda a região.

Então a ideia central é:

$$\text{circulação ao redor da borda} = \text{rotacional escalar total no interior}.$$

É por isso que o teorema de Green parece uma versão em 2D de um padrão maior do cálculo vetorial. Ele transforma informação da fronteira em informação do interior.

A fórmula e as condições que importam

Para um campo vetorial no plano $\mathbf{F} = (P,Q)$,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Essa forma padrão normalmente é apresentada sob estas condições:

1. $C$ é uma curva fechada simples.
2. $C$ tem orientação positiva, de modo que a região fique à sua esquerda enquanto você percorre a fronteira.
3. $P$ e $Q$ têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região aberta que contém $D$.

Essas condições não são mero detalhe. Se o campo não for suficientemente suave, ou se nem estiver definido em algum ponto dentro da região, você não pode aplicar o teorema automaticamente.

Intuição: por que a integral na fronteira pode ser igual a uma integral de área

Dentro da região, você pode imaginar muitos pequenos laços. As contribuições ao longo das arestas internas compartilhadas se cancelam aos pares, porque um pequeno laço percorre essa aresta em um sentido e o laço vizinho a percorre no sentido oposto.

O que sobra é a fronteira externa. Essa ideia de cancelamento é a intuição por trás do fato de que um total ao redor da borda pode ser igual a uma quantidade acumulada em todo o interior.

Exemplo resolvido na circunferência unitária

Seja

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

Tome $C$ como a circunferência unitária $x^2 + y^2 = 1$, orientada no sentido anti-horário, e seja $D$ o disco unitário que ela delimita.

Queremos calcular

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

Use o teorema de Green

Aqui,

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

Logo,

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

Então,

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

O teorema de Green fornece

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

Como $D$ é o disco unitário, sua área é $\pi$. Portanto,

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

Assim, o valor da integral de linha é

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

Por que este é um bom exemplo

O campo $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ é um campo de rotação pura em torno da origem. Seu rotacional escalar no plano é constante:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

Então o teorema de Green diz que a circulação total ao redor da fronteira deve ser $2$ vezes a área interna. No disco unitário, isso dá $2\pi$.

Esse é o atalho que o teorema de Green oferece. Uma integral de linha ao redor de uma fronteira curva vira um cálculo simples de área.

Um segundo uso comum: calcular área

O teorema de Green também pode ajudar a calcular área. Para uma curva fechada simples com orientação positiva,

$$\text{Área}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

Isso vem da escolha de funções especiais $P$ e $Q$ tais que

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

É um truque prático quando a fronteira é mais fácil de descrever do que o interior.

Erros comuns com o teorema de Green

1. Esquecer a orientação. O sentido anti-horário é a orientação positiva padrão, e invertê-la troca o sinal.
2. Usar o teorema em uma curva que não é fechada.
3. Aplicá-lo quando o campo não é suficientemente suave ou não está definido em algum ponto dentro da região.
4. Confundir a forma de circulação com a forma de fluxo. Elas são relacionadas, mas não são a mesma fórmula.
5. Descrever a região errada depois de passar da integral na fronteira para a integral dupla.

Quando o teorema de Green é usado

O teorema de Green aparece sempre que um problema de cálculo vetorial em 2D é mais fácil no interior do que na fronteira, ou mais fácil na fronteira do que no interior.

Usos comuns incluem:

1. Transformar uma integral de linha difícil em uma integral dupla mais simples.
2. Interpretar circulação em problemas no estilo de escoamento de fluidos.
3. Calcular área a partir de uma curva de fronteira.
4. Construir intuição para rotacional, fluxo e teoremas posteriores, como o teorema de Stokes.

Tente sua própria versão

Experimente o mesmo campo $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ em uma circunferência de raio $R$ em vez de raio $1$. Como o rotacional escalar ainda é $2$, o teorema de Green prevê

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

Faça as contas por conta própria e verifique que a resposta cresce com a área, e não apenas com o comprimento da fronteira. Se quiser um segundo caso, inverta a orientação e confirme que apenas o sinal muda.