Teorema de Green — Fórmula y ejemplos resueltos

El teorema de Green es el principal puente en 2D entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada y una integral doble sobre la región interior. En la forma usual de circulación,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Aquí $C$ es una curva cerrada simple con orientación positiva, lo que normalmente significa sentido antihorario, y $D$ es la región encerrada por $C$. El teorema es útil porque a menudo uno de los dos lados es mucho más fácil de calcular que el otro.

Qué significa el teorema de Green

El lado izquierdo suma el efecto tangencial del campo mientras recorres la frontera. El lado derecho suma la rotación local del campo en toda la región.

Así que la idea central es:

$$\text{circulación alrededor del borde} = \text{rotacional escalar total en el interior}.$$

Por eso el teorema de Green se siente como una versión en 2D de un patrón más amplio en cálculo vectorial. Convierte información de la frontera en información del interior.

La fórmula y las condiciones que importan

Para un campo vectorial plano $\mathbf{F} = (P,Q)$,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Esta forma estándar suele presentarse bajo estas condiciones:

1. $C$ es una curva cerrada simple.
2. $C$ tiene orientación positiva, de modo que la región queda a tu izquierda mientras recorres la frontera.
3. $P$ y $Q$ tienen derivadas parciales primeras continuas en una región abierta que contiene a $D$.

Esas condiciones no son un adorno. Si el campo no es lo bastante suave, o ni siquiera está definido en algún punto del interior de la región, no puedes aplicar el teorema sin más.

Intuición: por qué la integral de contorno puede ser igual a una integral de área

Dentro de la región, puedes imaginar muchos lazos pequeños. Las contribuciones a lo largo de los bordes interiores compartidos se cancelan por pares, porque un lazo pequeño recorre ese borde en una dirección y su vecino lo recorre en la dirección opuesta.

Lo que sobrevive es la frontera exterior. Esa idea de cancelación es la intuición de por qué un total alrededor del borde puede ser igual a una cantidad acumulada en todo el interior.

Ejemplo resuelto en la circunferencia unitaria

Sea

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

Toma $C$ como la circunferencia unitaria $x^2 + y^2 = 1$, orientada en sentido antihorario, y sea $D$ el disco unitario que encierra.

Queremos calcular

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

Usa el teorema de Green

Aquí

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

Entonces

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

Luego

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

El teorema de Green da

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

Como $D$ es el disco unitario, su área es $\pi$. Por lo tanto,

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

Así que el valor de la integral de línea es

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

Por qué este ejemplo es bueno

El campo $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ es un campo de rotación pura alrededor del origen. Su rotacional escalar en el plano es constante:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

Entonces el teorema de Green dice que la circulación total alrededor de la frontera debe ser $2$ veces el área interior. En el disco unitario, eso se convierte en $2\pi$.

Ese es el atajo que te da el teorema de Green. Una integral de línea alrededor de una frontera curva se convierte en un cálculo simple de área.

Un segundo uso común: calcular áreas

El teorema de Green también puede ayudar a calcular áreas. Para una curva cerrada simple con orientación positiva,

$$\text{Area}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

Esto viene de elegir funciones especiales $P$ y $Q$ de modo que

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

Es un truco práctico cuando la frontera es más fácil de describir que el interior.

Errores comunes con el teorema de Green

1. Olvidar la orientación. El sentido antihorario es la orientación positiva estándar, y al invertirla cambia el signo.
2. Usar el teorema en una curva que no es cerrada.
3. Aplicarlo cuando el campo no es lo bastante suave o no está definido en algún punto del interior de la región.
4. Confundir la forma de circulación con la forma de flujo. Están relacionadas, pero no son la misma fórmula.
5. Describir mal la región al pasar de la integral de contorno a la integral doble.

Cuándo se usa el teorema de Green

El teorema de Green aparece siempre que un problema de cálculo vectorial en 2D es más fácil en el interior que en la frontera, o más fácil en la frontera que en el interior.

Entre sus usos más comunes están:

1. Convertir una integral de línea difícil en una integral doble más sencilla.
2. Interpretar la circulación en problemas de tipo flujo de fluidos.
3. Calcular áreas a partir de una curva frontera.
4. Desarrollar intuición para el rotacional, el flujo y teoremas posteriores como el teorema de Stokes.

Prueba tu propia versión

Prueba el mismo campo $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ sobre una circunferencia de radio $R$ en lugar de radio $1$. Como el rotacional escalar sigue siendo $2$, el teorema de Green predice

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

Haz la cuenta por tu cuenta y comprueba que la respuesta escala con el área, no solo con la longitud de la frontera. Si quieres un segundo caso, invierte la orientación y confirma que solo cambia el signo.