Green Teoremi — Formül ve Çözümlü Örnekler

Green teoremi, kapalı bir eğri etrafındaki çizgi integrali ile onun içindeki bölge üzerindeki çift katlı integral arasında 2 boyutta kurulan temel köprüdür. Alışılmış dolaşım biçiminde,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Burada $C$, pozitif yönelimli basit kapalı bir eğridir; bu da genellikle saat yönünün tersi anlamına gelir. $D$ ise $C$ tarafından çevrelenen bölgedir. Teorem kullanışlıdır çünkü çoğu zaman taraflardan birini hesaplamak diğerinden çok daha kolaydır.

Green teoremi ne anlama gelir?

Sol taraf, sınır boyunca ilerlerken alanın teğetsel etkisini toplar. Sağ taraf ise alanın tüm bölgedeki yerel dönmesini toplar.

Yani temel fikir şudur:

$$\text{kenar boyunca dolaşım} = \text{içerideki toplam skaler curl}.$$

Bu yüzden Green teoremi, vektör analizindeki daha büyük bir örüntünün 2 boyutlu bir versiyonu gibi görünür. Sınır bilgisini iç bölge bilgisine dönüştürür.

Formül ve önemli koşullar

Düzlemdeki bir vektör alanı $\mathbf{F} = (P,Q)$ için,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Bu standart biçim genellikle şu koşullar altında verilir:

1. $C$ basit kapalı bir eğridir.
2. $C$ pozitif yönelimlidir; yani sınır boyunca yürürken bölge solunuzda kalır.
3. $P$ ve $Q$, $D$'yi içeren açık bir bölgede sürekli birinci mertebe kısmi türevlere sahiptir.

Bu koşullar sadece ayrıntı değildir. Alan yeterince düzgün değilse ya da bölgenin içinde bir yerde tanımlı bile değilse, teoremi düşünmeden uygulayamazsınız.

Sezgi: sınır integrali neden alan integraline eşit olabilir?

Bölgenin içinde çok sayıda küçük döngü düşünebilirsiniz. Ortak iç kenarlar üzerindeki katkılar çiftler halinde birbirini götürür; çünkü bir küçük döngü o kenarı bir yönde geçerken komşusu ters yönde geçer.

Geriye dış sınır kalır. İşte bu sadeleşme fikri, kenar boyunca alınan toplamın neden tüm iç bölge üzerindeki birikmiş bir niceliğe eşit olabildiğine dair sezgiyi verir.

Birim çember üzerinde çözümlü örnek

Şunu alalım:

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

$C$, saat yönünün tersine yönlendirilmiş birim çember $x^2 + y^2 = 1$ olsun. $D$ de onun çevrelediği birim disk olsun.

Şunu hesaplamak istiyoruz:

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

Green teoremini kullanın

Burada

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

Dolayısıyla

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

O hâlde

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Green teoremi bize şunu verir:

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

$D$ birim disk olduğundan alanı $\pi$'dir. Bu nedenle

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

Demek ki çizgi integralinin değeri

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

Bu örnek neden iyi bir örnek?

$\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ alanı, orijin etrafında saf bir dönme alanıdır. Düzlemdeki skaler curl değeri sabittir:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

Dolayısıyla Green teoremi, sınır etrafındaki toplam dolaşımın içerideki alanın $2$ katı olması gerektiğini söyler. Birim diskte bu değer $2\pi$ olur.

Green teoreminin sağladığı kısa yol budur. Eğri bir sınır etrafındaki çizgi integrali, basit bir alan hesabına dönüşür.

Yaygın bir ikinci kullanım: alan bulma

Green teoremi alan hesaplamaya da yardımcı olabilir. Pozitif yönelimli basit kapalı bir eğri için,

$$\text{Area}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

Bu, öyle özel $P$ ve $Q$ fonksiyonları seçilerek elde edilir ki

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

İç bölgeyi tanımlamaktan çok sınırı tanımlamanın daha kolay olduğu durumlarda bu pratik bir yöntemdir.

Green teoreminde yaygın hatalar

1. Yönelimi unutmak. Standart pozitif yönelim saat yönünün tersidir; yönü ters çevirmek işareti değiştirir.
2. Teoremi kapalı olmayan bir eğri üzerinde kullanmak.
3. Alan yeterince düzgün değilken ya da bölgenin içinde bir yerde tanımsızken teoremi uygulamak.
4. Dolaşım biçimini akı biçimiyle karıştırmak. İlişkilidirler ama aynı formül değildirler.
5. Sınır integralinden çift katlı integrale geçtikten sonra bölgeyi yanlış almak.

Green teoremi ne zaman kullanılır?

Green teoremi, 2 boyutlu bir vektör analiz problemi sınırda değil de içeride daha kolaysa ya da içeride değil de sınırda daha kolaysa ortaya çıkar.

Yaygın kullanımlar şunlardır:

1. Zor bir çizgi integralini daha kolay bir çift katlı integrale dönüştürmek.
2. Akışkan akışı tarzı problemlerde dolaşımı yorumlamak.
3. Bir sınır eğrisinden alan hesaplamak.
4. Curl, akı ve daha sonra Stokes teoremi gibi teoremler için sezgi geliştirmek.

Kendi versiyonunuzu deneyin

Aynı $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ alanını, yarıçapı $1$ yerine $R$ olan bir çember üzerinde deneyin. Skaler curl hâlâ $2$ olduğundan Green teoremi şu tahmini yapar:

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

Bunu kendiniz hesaplayın ve cevabın yalnızca sınırın uzunluğuyla değil, alanla ölçeklendiğini kontrol edin. İkinci bir durum isterseniz yönelimi ters çevirin ve yalnızca işaretin değiştiğini doğrulayın.