Định lý Green — Công thức & Ví dụ có lời giải

Định lý Green là cầu nối 2D quan trọng giữa tích phân đường quanh một đường cong kín và tích phân kép trên miền nằm bên trong nó. Ở dạng tuần hoàn quen thuộc,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Ở đây $C$ là một đường cong kín đơn có hướng dương, thường nghĩa là ngược chiều kim đồng hồ, và $D$ là miền được $C$ bao quanh. Định lý này hữu ích vì một trong hai vế thường dễ tính hơn nhiều so với vế còn lại.

Định lý Green có ý nghĩa gì

Vế trái cộng tác động tiếp tuyến của trường khi bạn đi dọc theo biên. Vế phải cộng tổng độ quay cục bộ của trường trên toàn bộ miền.

Vì vậy, ý tưởng cốt lõi là:

$$\text{độ tuần hoàn quanh biên} = \text{tổng xoáy vô hướng bên trong}.$$

Đó là lý do định lý Green giống như một phiên bản 2D của một mô hình lớn hơn trong giải tích vectơ. Nó biến thông tin trên biên thành thông tin bên trong miền.

Công thức và những điều kiện quan trọng

Với trường vectơ phẳng $\mathbf{F} = (P,Q)$,

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$

Dạng chuẩn này thường được giới thiệu với các điều kiện sau:

1. $C$ là một đường cong kín đơn.
2. $C$ có hướng dương, nên miền luôn nằm bên trái bạn khi đi dọc theo biên.
3. $P$ và $Q$ có các đạo hàm riêng bậc nhất liên tục trên một miền mở chứa $D$.

Những điều kiện này không phải chỉ để cho đủ. Nếu trường không đủ trơn, hoặc thậm chí không được xác định ở đâu đó bên trong miền, bạn không thể áp dụng định lý một cách máy móc.

Trực giác: vì sao tích phân trên biên có thể bằng tích phân theo diện tích

Bên trong miền, bạn có thể hình dung có rất nhiều vòng kín nhỏ. Các phần đóng góp dọc theo những cạnh bên trong chung sẽ triệt tiêu theo từng cặp, vì một vòng nhỏ đi qua cạnh đó theo một hướng còn vòng bên cạnh đi theo hướng ngược lại.

Phần còn lại chính là biên ngoài. Ý tưởng triệt tiêu đó là trực giác giải thích vì sao một tổng quanh biên có thể bằng một đại lượng tích lũy trên toàn bộ phần bên trong.

Ví dụ có lời giải trên đường tròn đơn vị

Cho

$$\mathbf{F}(x,y) = (-y,x).$$

Lấy $C$ là đường tròn đơn vị $x^2 + y^2 = 1$, có hướng ngược chiều kim đồng hồ, và gọi $D$ là hình tròn đơn vị mà nó bao quanh.

Ta cần tính

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy.$$

Dùng định lý Green

Ở đây

$$P(x,y) = -y, \qquad Q(x,y) = x.$$

Do đó

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -1.$$

Suy ra

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Định lý Green cho

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA.$$

Vì $D$ là hình tròn đơn vị nên diện tích của nó là $\pi$. Do đó

$$\iint_D 2\,dA = 2\pi.$$

Vậy giá trị của tích phân đường là

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi.$$

Vì sao đây là một ví dụ hay

Trường $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ là một trường quay thuần túy quanh gốc tọa độ. Xoáy vô hướng của nó trong mặt phẳng là hằng số:

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2.$$

Vì thế định lý Green nói rằng độ tuần hoàn tổng cộng quanh biên phải bằng $2$ lần diện tích bên trong. Với hình tròn đơn vị, điều đó trở thành $2\pi$.

Đó chính là lối tắt mà định lý Green mang lại. Một tích phân đường quanh biên cong được biến thành một phép tính diện tích đơn giản.

Một ứng dụng phổ biến khác: tính diện tích

Định lý Green cũng có thể giúp tính diện tích. Với một đường cong kín đơn có hướng dương,

$$\text{Area}(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx).$$

Điều này có được bằng cách chọn các hàm đặc biệt $P$ và $Q$ sao cho

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.$$

Đây là một mẹo thực tế khi biên dễ mô tả hơn phần bên trong.

Những lỗi thường gặp với định lý Green

1. Quên hướng. Ngược chiều kim đồng hồ là hướng dương chuẩn, và nếu đảo hướng thì dấu sẽ đổi.
2. Dùng định lý cho một đường cong không kín.
3. Áp dụng khi trường không đủ trơn hoặc không xác định ở đâu đó bên trong miền.
4. Nhầm dạng tuần hoàn với dạng thông lượng. Chúng có liên quan, nhưng không phải cùng một công thức.
5. Mô tả sai miền sau khi chuyển từ tích phân đường sang tích phân kép.

Khi nào dùng định lý Green

Định lý Green xuất hiện khi một bài toán giải tích vectơ 2D dễ xử lý ở bên trong hơn là trên biên, hoặc ngược lại, dễ xử lý trên biên hơn là ở bên trong.

Các ứng dụng phổ biến gồm:

1. Biến một tích phân đường khó thành một tích phân kép dễ hơn.
2. Diễn giải độ tuần hoàn trong các bài toán kiểu dòng chảy chất lỏng.
3. Tính diện tích từ một đường cong biên.
4. Xây dựng trực giác cho xoáy, thông lượng và các định lý về sau như định lý Stokes.

Tự thử một phiên bản của riêng bạn

Hãy thử cùng trường $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ trên một đường tròn bán kính $R$ thay vì bán kính $1$. Vì xoáy vô hướng vẫn là $2$, định lý Green dự đoán

$$\oint_C -y\,dx + x\,dy = 2\pi R^2.$$

Hãy tự tính và kiểm tra rằng đáp án tỉ lệ theo diện tích, không chỉ theo độ dài của biên. Nếu muốn thử thêm một trường hợp nữa, hãy đảo hướng và xác nhận rằng chỉ có dấu thay đổi.