Équation d’un cercle

L’équation d’un cercle indique quels points sont à une distance fixe d’un point central. Si un cercle a pour centre $(h, k)$ et pour rayon $r$, son équation standard est

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Cela fonctionne parce que chaque point $(x, y)$ du cercle se trouve exactement à une distance $r$ du centre. Si le centre est à l’origine, l’équation devient

$$x^2 + y^2 = r^2$$

C’est la façon la plus rapide de reconnaître un cercle en géométrie analytique.

Ce que signifie l’équation

L’expression $x - h$ mesure la distance horizontale par rapport au centre, et $y - k$ mesure la distance verticale par rapport au centre. En élevant ces distances au carré puis en les additionnant, on retrouve la formule de distance :

$$\text{distance}^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2$$

Pour les points du cercle, cette distance au carré doit être égale à $r^2$. L’équation est donc une manière compacte de dire : « chaque point ici reste à la même distance du centre ».

Intuition

Considérez le centre comme un point d’ancrage. Un cercle est l’ensemble de tous les points qui restent exactement à une longueur de rayon de cet ancrage. L’équation ne décrit pas un seul point. Elle décrit tout le contour formé par tous ces points.

C’est aussi pour cela que le rayon est si important. Si vous changez $r$, le centre reste le même mais le cercle grandit ou rétrécit.

Exemple détaillé

Écrivez l’équation du cercle de centre $(3, -2)$ et de rayon $5$.

Commencez par la forme standard :

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Remplacez $h = 3$, $k = -2$ et $r = 5$ :

$$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$$

Simplifiez :

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

C’est l’équation du cercle.

Vous pouvez la vérifier rapidement avec un point qui devrait appartenir au cercle. Le point $(8, -2)$ est à $5$ unités à droite du centre, donc il doit convenir :

$$(8 - 3)^2 + (-2 + 2)^2 = 5^2 + 0 = 25$$

C’est bien le cas, donc l’équation est cohérente avec le centre et le rayon.

Erreurs fréquentes

1. Lire le centre directement à partir des signes. Dans $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$, le centre est $(3, -2)$, et non $(3, 2)$.
2. Oublier d’élever le rayon au carré. Si le rayon est $5$, le membre de droite vaut $25$, et non $5$.
3. Utiliser le diamètre comme s’il s’agissait du rayon. Si le diamètre est donné, divisez d’abord par $2$.
4. S’attendre à un cercle réel lorsque $r^2$ est négatif. Une équation comme $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = -9$ n’a aucun point réel.

Cas particuliers importants

Si $r > 0$, l’équation décrit un véritable cercle.

Si $r = 0$, l’équation décrit exactement un point : le centre lui-même.

Si $r^2 < 0$, il n’existe aucun cercle réel, car des distances au carré ne peuvent pas être négatives.

Quand ce concept est utilisé

L’équation d’un cercle apparaît en géométrie repérée, en géométrie analytique et en précalcul. Elle sert à tracer des cercles, à déterminer si un point appartient à un cercle, à modéliser une distance à partir d’un point fixe et à réécrire des équations plus compliquées sous une forme reconnaissable de cercle.

Elle est aussi naturellement liée à la formule de distance et à la complétion du carré, qui permet souvent de transformer une équation plus longue en forme standard d’un cercle.

Une bonne vérification mentale

Quand vous voyez $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, posez-vous deux questions rapides :

1. Quel centre les signes indiquent-ils ?
2. Le membre de droite est-il bien le rayon au carré ?

Ces deux vérifications permettent d’éviter la plupart des erreurs.

Essayez vous-même

Essayez d’écrire l’équation du cercle de centre $(-4, 1)$ et de rayon $3$. Vérifiez ensuite si le point $(-1, 1)$ appartient au cercle. Si vous voulez aller un peu plus loin, partez d’une équation plus longue et réécrivez-la sous la forme standard d’un cercle.