Aire d’un parallélogramme — formule et exemples

Pour trouver l’aire d’un parallélogramme, multipliez la base par la hauteur perpendiculaire. Si la base est $b$ et la hauteur correspondante est $h$, alors

$$A = bh$$

Le mot clé est perpendiculaire. La hauteur est la distance la plus courte, mesurée tout droit, entre la base et le côté opposé. Ce n’est généralement pas la longueur du côté incliné.

Pourquoi base × hauteur fonctionne

Imaginez que vous découpiez un triangle rectangle sur un côté du parallélogramme et que vous le fassiez glisser de l’autre côté. La figure devient un rectangle, sans perdre ni gagner d’aire.

Un rectangle ayant la même base $b$ et la même hauteur $h$ a pour aire $bh$, donc le parallélogramme a lui aussi pour aire

$$A = bh$$

Exemple d’aire d’un parallélogramme

Supposons qu’un parallélogramme ait une base de $8$ cm et une hauteur perpendiculaire de $5$ cm. Remplacez ces valeurs dans la formule :

$$A = bh = 8 \times 5 = 40$$

Donc l’aire est de $40\text{ cm}^2$.

Si le côté incliné mesurait $6$ cm, la réponse resterait la même. L’aire dépend de la base et de la hauteur perpendiculaire, pas du côté incliné à lui seul.

Erreurs fréquentes avec l’aire d’un parallélogramme

Utiliser le côté incliné au lieu de la hauteur

C’est l’erreur qui provoque le plus de mauvaises réponses. Si le schéma montre un côté incliné et aussi une hauteur perpendiculaire, utilisez la hauteur perpendiculaire pour $h$.

Par exemple, si $b = 8$, que le côté incliné vaut $6$ et que la hauteur perpendiculaire vaut $5$, alors l’aire correcte est toujours

$$8 \times 5 = 40$$

et non $8 \times 6$.

Confondre aire et périmètre

L’aire mesure la surface à l’intérieur de la figure, en unités carrées. Le périmètre mesure la longueur totale du contour. Les nombres du schéma peuvent être les mêmes, mais les formules répondent à des questions différentes.

Oublier les unités

Si les longueurs sont en centimètres, l’aire doit s’écrire en centimètres carrés : $\text{cm}^2$.

Quand utiliser cette formule

Utilisez $A = bh$ chaque fois que vous connaissez une base et la hauteur perpendiculaire à cette base. C’est la formule standard en géométrie élémentaire, et elle aide aussi à comprendre pourquoi l’aire d’un triangle est $\frac{1}{2}bh$.

Si vous ne connaissez pas la hauteur, mais que vous connaissez deux côtés adjacents $a$ et $b$ ainsi que l’angle compris $\theta$, vous pouvez écrire l’aire sous la forme

$$A = ab \sin \theta$$

car la hauteur relative au côté $b$ est $a \sin \theta$. Cela fonctionne seulement lorsque $\theta$ est l’angle compris entre ces deux côtés.

Essayez un exercice similaire

Trouvez l’aire d’un parallélogramme de base $12$ m et de hauteur perpendiculaire $7$ m. Puis changez seulement la longueur du côté incliné et vérifiez que l’aire reste la même. C’est une bonne façon de vérifier si l’idée de hauteur perpendiculaire est bien comprise.