平行四辺形の面積 — 公式と例

平行四辺形の面積は、底辺に垂直な高さをかけて求めます。底辺を $b$ 、それに対応する高さを $h$ とすると、

A = bh

となります。

大事な言葉は垂直です。高さとは、底辺から向かい合う辺までまっすぐ測った最短距離のことです。ふつう、斜めの辺の長さではありません。

なぜ「底辺×高さ」で求められるのか

平行四辺形の片側にある直角三角形を切り取り、反対側へ移動させるところを想像してみてください。すると図形は長方形になりますが、面積は増えも減りもしません。

底辺 $b$ 、高さ $h$ が同じ長方形の面積は $bh$ なので、平行四辺形の面積も

A = bh

になります。

底辺が $8$ cm、高さが $5$ cm の平行四辺形を考えます。これらの値を公式に代入すると、

A = bh = 8 \times 5 = 40

となります。

したがって、面積は $40\text{ cm}^2$ です。

もし斜めの辺の長さが $6$ cm だったとしても、答えは変わりません。面積は底辺と垂直な高さで決まり、斜めの辺の長さだけでは決まりません。

これは、間違った答えになる原因として最も多いものです。図に斜めの辺と垂直な高さの両方が示されているなら、 $h$ には垂直な高さを使います。

たとえば、 $b = 8$ 、斜めの辺が $6$ 、垂直な高さが $5$ のとき、正しい面積は

8 \times 5 = 40

であり、 $8 \times 6$ ではありません。

面積は図形の内側の広さを表し、平方単位で表します。周の長さは外側を一周した全体の長さです。同じ図に同じ数値が書かれていても、公式が答える内容は異なります。

長さの単位がセンチメートルなら、面積は平方センチメートル、つまり $\text{cm}^2$ と書きます。

底辺と、その底辺に対応する垂直な高さがわかっているときは、いつでも $A = bh$ を使えます。これは初等幾何での標準的な公式で、三角形の面積が $\frac{1}{2}bh$ になる理由を考えるときにも役立ちます。

高さがわからなくても、隣り合う2辺 $a$ と $b$ 、そしてその間の角 $\theta$ がわかっているなら、面積は

A = ab \sin \theta

と表せます。

これは、辺 $b$ に対する高さが $a \sin \theta$ だからです。この式が使えるのは、 $\theta$ がその2辺の間の角である場合だけです。

底辺が $12$ m、高さが $7$ m の平行四辺形の面積を求めてみましょう。そのあと、斜めの辺の長さだけを変えて、面積が同じままであることを確かめてみてください。そうすると、垂直な高さの考え方が本当に理解できているか確かめられます。

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