Droites parallèles et perpendiculaires — pentes et exemples

Les droites parallèles ne se rencontrent jamais, et les droites perpendiculaires se coupent à angle droit. En géométrie analytique, la pente est le moyen le plus rapide de déterminer la relation entre deux droites.

Pour deux droites non verticales, la règle est simple : des pentes égales signifient que les droites sont parallèles, et des pentes opposées et inverses signifient qu’elles sont perpendiculaires. Si une droite est verticale et l’autre horizontale, elles sont aussi perpendiculaires.

Comment savoir si des droites sont parallèles

Des droites parallèles ont la même direction et restent à la même distance l’une de l’autre dans un plan. Sur un graphique, elles ont la même inclinaison.

Si deux droites distinctes non verticales ont pour pentes $m_1$ et $m_2$, elles sont parallèles lorsque

$$m_1 = m_2$$

Le mot distinctes est important. Si la pente et l’ordonnée à l’origine coïncident toutes les deux, les équations peuvent décrire la même droite écrite sous deux formes différentes.

Comment savoir si des droites sont perpendiculaires

Des droites perpendiculaires se coupent en formant un angle de $90^\circ$. Lorsque les deux pentes sont définies, la condition est

$$m_1 m_2 = -1$$

Cela revient à dire que les pentes sont opposées et inverses.

Par exemple, si une pente vaut $2$, la pente de la droite perpendiculaire est $-\frac{1}{2}$. Si une pente vaut $-\frac{3}{4}$, la pente perpendiculaire est $\frac{4}{3}$.

Cette règle ne s’applique que lorsque les deux pentes existent comme nombres. Une droite verticale a une pente non définie, donc sa perpendiculaire est une droite horizontale de pente $0$.

Exemple résolu : classer deux droites à partir de leurs équations

Décidez si ces droites sont parallèles, perpendiculaires ou ni l’une ni l’autre :

$$2x - y = 3$$ $$x + 2y = 8$$

Commencez par réécrire chaque équation pour que la pente soit facile à lire.

À partir de $2x - y = 3$, isolez $y$ :

$$y = 2x - 3$$

Donc la première pente est $2$.

À partir de $x + 2y = 8$, isolez $y$ :

$$2y = -x + 8$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 4$$

Donc la deuxième pente est $-\frac{1}{2}$.

Comparez-les maintenant. L’opposé de l’inverse de $2$ est $-\frac{1}{2}$, donc les droites sont perpendiculaires. Vous pouvez le vérifier avec la règle du produit :

$$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$

Cela vous donne tout de suite une information géométrique : lorsque ces droites se coupent, elles forment un angle droit.

Une méthode rapide pour vérifier n’importe quelle paire de droites

Quand un exercice donne deux équations, suivez cet ordre :

1. Réécrivez chaque droite pour que la pente soit facile à lire.
2. Comparez les pentes.
3. Si les pentes sont égales, vérifiez que les droites sont distinctes avant de les dire parallèles.
4. Si les pentes sont opposées et inverses, dites que les droites sont perpendiculaires.
5. Si aucune des deux conditions n’est vérifiée, les droites ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.

Cela évite de confondre même pente, pente opposée et pente opposée et inverse.

Erreurs fréquentes avec la pente

Une erreur fréquente consiste à dire que des droites perpendiculaires ont des pentes opposées. Ce n’est pas suffisant. Les pentes $2$ et $-2$ sont opposées, mais elles ne sont pas opposées et inverses, donc ces droites ne sont pas perpendiculaires.

Une autre erreur est d’oublier le cas particulier des droites verticales et horizontales. Une droite verticale a une pente non définie, donc on ne peut pas la tester en multipliant les pentes pour obtenir $-1$.

Les élèves disent aussi parfois que deux droites sont parallèles simplement parce que leurs pentes sont égales. Si les ordonnées à l’origine sont aussi les mêmes, les équations décrivent la même droite, et non deux droites parallèles distinctes.

Où l’on utilise les droites parallèles et perpendiculaires

Les droites parallèles et perpendiculaires apparaissent dans les tracés de graphiques, la géométrie analytique, les démonstrations en repère et les problèmes d’équations de droites. Elles sont aussi utiles en conception et en ingénierie, où la direction et les angles droits comptent.

L’idée pratique, c’est que la pente transforme une notion visuelle en test numérique rapide.

Essayez un exercice similaire

Essayez votre propre version avec les droites $y = -3x + 2$ et $y = -3x - 5$. Lisez d’abord les pentes, décidez si les droites sont parallèles, perpendiculaires ou ni l’une ni l’autre, puis vérifiez si les ordonnées à l’origine changent votre réponse.

Si vous voulez un autre cas ensuite, consultez Slope Formula, puis classez une paire de droites à partir de deux points plutôt qu’à partir d’équations.