평행사변형 넓이 구하는 법 — 공식과 예제

평행사변형의 넓이는 밑변에 수직 높이를 곱해서 구합니다. 밑변이 $b$ 이고 그에 대응하는 높이가 $h$ 이면,

A = bh

여기서 핵심은 수직이라는 점입니다. 높이는 밑변에서 마주 보는 변까지 곧게 잰 가장 짧은 거리입니다. 보통 기울어진 변의 길이와는 다릅니다.

왜 밑변 × 높이일까

평행사변형의 한쪽에서 직각삼각형 하나를 잘라 반대쪽으로 옮긴다고 생각해 보세요. 그러면 도형은 직사각형이 되지만, 넓이는 전혀 변하지 않습니다.

밑변이 $b$ , 높이가 $h$ 인 직사각형의 넓이는 $bh$ 이므로, 평행사변형의 넓이도

A = bh

가 됩니다.

어떤 평행사변형의 밑변이 $8$ cm이고 수직 높이가 $5$ cm라고 합시다. 이 값을 공식에 대입하면,

A = bh = 8 \times 5 = 40

따라서 넓이는 $40\text{ cm}^2$ 입니다.

기울어진 변의 길이가 $6$ cm라고 해도 답은 같습니다. 넓이는 밑변과 수직 높이에 의해 결정되며, 기울어진 변의 길이만으로는 정해지지 않습니다.

이 실수 때문에 오답이 가장 많이 나옵니다. 그림에 기울어진 변과 수직 높이가 함께 표시되어 있다면, $h$ 에는 반드시 수직 높이를 사용해야 합니다.

예를 들어 $b = 8$ , 기울어진 변이 $6$ , 수직 높이가 $5$ 라면 올바른 넓이는 여전히

8 \times 5 = 40

이며, $8 \times 6$ 이 아닙니다.

넓이는 도형 내부의 넓이를 제곱단위로 나타낸 것입니다. 둘레는 바깥쪽을 한 바퀴 돈 전체 길이입니다. 그림에 나온 수가 같아 보여도, 공식이 답하는 질문은 서로 다릅니다.

길이의 단위가 센티미터라면 넓이는 제곱센티미터인 $\text{cm}^2$ 로 써야 합니다.

밑변 하나와 그 밑변에 대한 수직 높이를 알고 있을 때는 언제나 $A = bh$ 를 사용할 수 있습니다. 이것은 기초 기하에서 쓰는 표준 공식이며, 삼각형의 넓이가 $\frac{1}{2}bh$ 가 되는 이유를 이해하는 데도 도움이 됩니다.

만약 높이는 모르지만, 이웃한 두 변 $a$ 와 $b$ 그리고 그 사이의 끼인각 $\theta$ 를 알고 있다면 넓이를

A = ab \sin \theta

로 쓸 수 있습니다. 이는 변 $b$ 를 밑변으로 볼 때 높이가 $a \sin \theta$ 이기 때문입니다. 이 식은 $\theta$ 가 두 변 사이의 끼인각일 때만 성립합니다.

밑변이 $12$ m이고 수직 높이가 $7$ m인 평행사변형의 넓이를 구해 보세요. 그런 다음 기울어진 변의 길이만 바꿔 보고 넓이가 그대로인지 확인해 보세요. 이렇게 해 보면 수직 높이라는 개념을 제대로 이해했는지 점검할 수 있습니다.

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