Integral doble

Una integral doble suma una función sobre una región bidimensional. Si $f(x,y) \ge 0$, da el volumen bajo $z=f(x,y)$ sobre esa región. Si $f$ cambia de signo, en cambio da el volumen neto con signo.

Normalmente se escribe como

$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

donde $R$ es la región en el plano $xy$ y $dA$ es un pequeño elemento de área. En la práctica, la mayoría de los primeros problemas de integrales dobles tratan de dos cosas: interpretar bien la región y elegir límites que realmente coincidan con ella.

Qué significa una integral doble

Hay tres partes que leer:

• $f(x,y)$ es la función que se está sumando.
• $R$ es la región donde la estás sumando.
• $dA$ significa una pequeña porción de área.

Así, $\iint_R f(x,y)\,dA$ significa “sumar los valores de $f$ sobre todas las pequeñas porciones de área de $R$”. Si $f(x,y)=1$, el resultado es simplemente el área de $R$. Esta es una comprobación útil porque muestra que las integrales dobles miden acumulación sobre un área, no solo volumen bajo superficies curvas.

Por qué una integral doble suele convertirse en una integral iterada

En muchos problemas de cálculo, calculas una integral doble convirtiéndola en dos integrales simples. Sobre un rectángulo, y más en general bajo condiciones estándar como continuidad en la región, puedes integrar una variable a la vez.

Para un rectángulo $R = [a,b] \times [c,d]$,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$$

o, si es más simple,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$$

El orden importa para el planteamiento y la comodidad del cálculo. Bajo las condiciones habituales del curso, ambas integrales iteradas representan la misma cantidad, pero un orden suele ser mucho más fácil de evaluar.

Para una integral simple, puedes pensar en dividir un intervalo en anchos pequeños $dx$. Para una integral doble, divides una región en pequeños rectángulos con área $dA$.

Cada pequeño rectángulo aporta aproximadamente

$$f(x,y)\,dA.$$

Al sumar esas contribuciones en toda la región, obtienes la acumulación total.

Ejemplo de integral doble sobre un rectángulo

Halla

$$\iint_R (x+2y)\,dA$$

donde

$$R = \{(x,y) : 0 \le x \le 2,\ 1 \le y \le 3\}.$$

Esta región es un rectángulo, así que una integral iterada es directa:

$$\iint_R (x+2y)\,dA = \int_0^2 \int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx.$$

Integra primero respecto de $y$. Mientras haces eso, trata $x$ como una constante:

$$\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy + y^2\right]_1^3 = (3x+9)-(x+1) = 2x+8.$$

Ahora integra la expresión externa respecto de $x$:

$$\int_0^2 (2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 4+16 = 20.$$

Entonces

$$\iint_R (x+2y)\,dA = 20.$$

Esto tiene sentido porque $x+2y$ es positiva en toda $R$, así que la acumulación total también debe ser positiva.

Qué cambia cuando la región no es un rectángulo

Si la región no es un rectángulo, los límites suelen depender de la otra variable. Por ejemplo, puedes ver una región descrita por curvas como

$$0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x+1.$$

Entonces los límites internos ya no son constantes. Cambian con $x$.

Por eso es importante dibujar la región. En muchas soluciones de estudiantes, el álgebra está bien y la región está mal.

Errores comunes con integrales dobles

1. Usar límites que no coinciden con la región deseada.
2. Olvidar qué variable se integra primero. En $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$, la integral interna es respecto de $y$.
3. Tratar ambas variables como activas durante el paso interno. La variable externa debe tratarse como una constante ahí.
4. Suponer que el resultado es volumen geométrico incluso cuando la función toma valores negativos. En ese caso, la integral doble da volumen con signo.
5. Cambiar el orden de integración sin cambiar correctamente los límites.

Dónde se usan las integrales dobles

Las integrales dobles aparecen siempre que una cantidad está distribuida sobre un área en lugar de a lo largo de una línea.

• En geometría, dan el área o el volumen bajo una superficie.
• En física, pueden sumar masa sobre una lámina cuando la densidad depende de la posición.
• En probabilidad, aparecen en distribuciones conjuntas continuas de dos variables.
• En ingeniería, se usan cuando una cantidad varía sobre una superficie o una sección transversal.

La interpretación depende de la función. Si el integrando es densidad, el resultado es masa. Si el integrando es altura, el resultado es volumen con signo.

Prueba un problema similar

Prueba tu propia versión cambiando el ejemplo a

$$\iint_R (2x+y)\,dA$$

sobre el mismo rectángulo $0 \le x \le 2$, $1 \le y \le 3$. Luego invierte el orden de integración y comprueba que el valor se mantiene igual. Si quieres ir un paso más allá, explora un problema parecido en una región triangular para que los límites dependan de la otra variable.